Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma primitiva da função” e dá a função
Informações relevantes que temos:
- A função
está escrita como uma fração racional em termos de . - O objetivo é encontrar uma função
tal que (ou seja, uma antiderivada / primitiva).
Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e quais dados estão disponíveis.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para deixá-la em potências de
. Isso facilita muito a integração porque a regra de potência é direta. Vou decompor a fração termo a termo:
Agora simplifico cada fração usando
e simplificação de coeficientes:
Portanto
Explicação curta: escrever como potências com expoentes negativos é padrão para integrar funções racionais simples sem fatoração extra.
Passo 3
Regra de integração que vamos usar (a mais importante aqui): para qualquer
,
Por que isso funciona? Se tomarmos
, então
, logo
é uma primitiva de
. Observação: o caso
é especial e dá
, mas aqui nossos expoentes são
, todos diferentes de
, então podemos aplicar a fórmula normalmente.
Passo 4
Integro termo a termo usando a regra acima.
- Para
:
Detalhe: aqui
, então
- Para
:
Detalhe: factorizamos o coeficiente
e aplicamos a fórmula com
.
- Para
:
Detalhe: coeficiente
multiplicando a primitiva de
.
Passo 5
Somando as primitivas dos três termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos
Volto a escrever com potências negativas transformadas em frações para ficar mais familiar:
Pequena verificação (útil na prova): ao derivar
recuperamos
, que é exatamente
(logo a primitiva está correta).