Determine uma primitiva da função.
f(x)=\frac{2 x^{2}-6 x+4}{2 x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma primitiva da função” e dá a função
f(x)=\frac{2 x^{2}-6 x+4}{2 x^{4}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função f(x) está escrita como uma fração racional em termos de x.
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) (ou seja, uma antiderivada / primitiva).
    Não vamos resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e quais dados estão disponíveis.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para deixá-la em potências de x. Isso facilita muito a integração porque a regra de potência é direta. Vou decompor a fração termo a termo:
f(x)=\frac{2x^{2}-6x+4}{2x^{4}}=\frac{2x^{2}}{2x^{4}}-\frac{6x}{2x^{4}}+\frac{4}{2x^{4}}.
Agora simplifico cada fração usando x^{a}/x^{b}=x^{a-b} e simplificação de coeficientes:
\frac{2x^{2}}{2x^{4}}=x^{-2},\qquad \frac{6x}{2x^{4}}=3x^{-3},\qquad \frac{4}{2x^{4}}=2x^{-4}.
Portanto
f(x)=x^{-2}-3x^{-3}+2x^{-4}.
Explicação curta: escrever como potências com expoentes negativos é padrão para integrar funções racionais simples sem fatoração extra.

Passo 3

Regra de integração que vamos usar (a mais importante aqui): para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso funciona? Se tomarmos G(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, então G'(x)=\dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, logo G é uma primitiva de x^{n}. Observação: o caso n=-1 é especial e dá \int x^{-1}dx=\ln|x|+C, mas aqui nossos expoentes são -2,-3,-4, todos diferentes de -1, então podemos aplicar a fórmula normalmente.

Passo 4

Integro termo a termo usando a regra acima.
  1. Para \int x^{-2}\,dx:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
Detalhe: aqui n=-2, então \dfrac{x^{n+1}}{n+1}=\dfrac{x^{-1}}{-1}.
  1. Para \int -3x^{-3}\,dx:
\int -3x^{-3}\,dx=-3\cdot\frac{x^{-2}}{-2}=\frac{3}{2}x^{-2}.
Detalhe: factorizamos o coeficiente -3 e aplicamos a fórmula com n=-3.
  1. Para \int 2x^{-4}\,dx:
\int 2x^{-4}\,dx=2\cdot\frac{x^{-3}}{-3}=-\frac{2}{3}x^{-3}.
Detalhe: coeficiente 2 multiplicando a primitiva de x^{-4}.

Passo 5

Somando as primitivas dos três termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos
F(x)=-x^{-1}+\frac{3}{2}x^{-2}-\frac{2}{3}x^{-3}+C.
Volto a escrever com potências negativas transformadas em frações para ficar mais familiar:
F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^{2}}-\frac{2}{3x^{3}}+C.
Pequena verificação (útil na prova): ao derivar F(x) recuperamos x^{-2}-3x^{-3}+2x^{-4}, que é exatamente f(x) (logo a primitiva está correta).

Resposta

-\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^{2}}-\frac{2}{3x^{3}}+C

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