Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma primitiva (ou antiderivada) da função
.
Informações dadas: a função é .
Pergunta: encontrar uma função tal que
, ou seja,
.
Informações dadas: a função é
Pergunta: encontrar uma função
Passo 2
Plano de ataque (sem calcular ainda): vou usar a propriedade de linearidade da integral (posso tirar constantes para fora) e uma substituição simples para tratar o argumento
dentro do seno. Essa é a maneira mais direta e rápida na prova.
Passo 3
Aplicando linearidade: escrevo a primitiva como a integral
Aqui usei que se
é constante então
.
Passo 4
Faço a substituição para simplificar o argumento do seno. Defino
Então diferençando ambos os lados tenho
Passo 5
Substituo na integral:
porque
.
Passo 6
Integro
. Sabendo que a derivada de
é
, concluímos que
onde
é a constante de integração. (Explicando: se
, então
.)
Passo 7
Voltando à variável
(substituição reversa
), obtemos
Passo 8
Verificação rápida (importante na prova): derivo o resultado para checar se volta para
.
Calculo . Pelo encadeamento,
Calculo
então
que é exatamente
. Tudo certo!