Determine uma primitiva da função.
f(x)=2 \sin 8 x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva (ou antiderivada) da função f(x)=2\sin 8x.
Informações dadas: a função é f(x)=2\sin 8x.
Pergunta: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), ou seja, F'(x)=2\sin 8x.

Passo 2

Plano de ataque (sem calcular ainda): vou usar a propriedade de linearidade da integral (posso tirar constantes para fora) e uma substituição simples para tratar o argumento 8x dentro do seno. Essa é a maneira mais direta e rápida na prova.

Passo 3

Aplicando linearidade: escrevo a primitiva como a integral
\int 2\sin 8x\,dx = 2\int \sin 8x\,dx.
Aqui usei que se c é constante então \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx.

Passo 4

Faço a substituição para simplificar o argumento do seno. Defino
u = 8x.
Então diferençando ambos os lados tenho
du = 8\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{1}{8}\,du.

Passo 5

Substituo na integral:
2\int \sin 8x\,dx = 2\int \sin u\cdot\frac{1}{8}\,du = \frac{1}{4}\int \sin u\,du,
porque 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Integro \sin u. Sabendo que a derivada de \cos u é -\sin u, concluímos que
\int \sin u\,du = -\cos u + C,
onde C é a constante de integração. (Explicando: se \frac{d}{du}\cos u = -\sin u, então \frac{d}{du}(-\cos u)=\sin u.)

Passo 7

Voltando à variável x (substituição reversa u=8x), obtemos
\frac{1}{4}\int \sin u\,du = \frac{1}{4}\bigl(-\cos u\bigr)+C = -\frac{1}{4}\cos(8x)+C.

Passo 8

Verificação rápida (importante na prova): derivo o resultado para checar se volta para f(x).
Calculo \frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(8x)\bigr). Pelo encadeamento,
\frac{d}{dx}\cos(8x) = -\sin(8x)\cdot 8,
então
\frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{1}{4}\cos(8x)\bigr) = -\tfrac{1}{4}\cdot\bigl(-\sin(8x)\cdot 8\bigr) = 2\sin(8x),
que é exatamente f(x). Tudo certo!

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos(8x)+C

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