Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma primitiva da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos uma primitiva, isto é, uma função
tal que .
Passo 2
Usamos a propriedade linear da integral: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas. Então procuramos
Vou achar cada integral separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Truque clássico (multiplicar por uma expressão conveniente):
Agora faça a substituição
Derivando,
Observe que o numerador do integrando é exatamente
. Portanto
Explicando:
aparece porque
. O valor absoluto é por segurança quando
pode mudar de sinal.
Passo 4
Calcular
.
Escrevemos
e usamos substituição
Então
Assim,
Passo 5
Somando as duas primitivas obtidas:
Podemos também reescrever usando
, então
e uma forma compacta equivalente é
Qualquer uma dessas formas é uma primitiva válida (a diferença entre elas é só uma constante).
Passo 6
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando
e
Somando dá
, que é exatamente
. Então está correto.
Passo 7
Resumo e dica prática para a prova: memorize a primitiva
e
. Quando aparecer somas, use linearidade e some as primitivas. Respire fundo — você conseguiu chegar na resposta com passos diretos!