Determine uma primitiva da função.
f(x)=\operatorname{sec} x+3 \tan x

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma primitiva da função f(x)=\operatorname{sec} x+3\tan x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\operatorname{sec} x+3\tan x.
  • Queremos uma primitiva, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Usamos a propriedade linear da integral: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas. Então procuramos
\int f(x)\,dx=\int\big(\operatorname{sec} x+3\tan x\big)\,dx=\int\operatorname{sec} x\,dx+3\int\tan x\,dx.
Vou achar cada integral separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int\operatorname{sec} x\,dx.
Truque clássico (multiplicar por uma expressão conveniente):
\int\operatorname{sec} x\,dx=\int\operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx =\int\frac{\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Agora faça a substituição
u=\operatorname{sec} x+\tan x.
Derivando,
du=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x)\,dx.
Observe que o numerador do integrando é exatamente du. Portanto
\int\operatorname{sec} x\,dx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C.
Explicando: \ln|u| aparece porque \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. O valor absoluto é por segurança quando u pode mudar de sinal.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int\tan x\,dx.
Escrevemos \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e usamos substituição
v=\cos x \quad\Rightarrow\quad dv=-\sin x\,dx.
Então
\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=-\int\frac{dv}{v}=-\ln|v|+C=-\ln|\cos x|+C.
Assim,
3\int\tan x\,dx=-3\ln|\cos x|+C.

Passo 5

Somando as duas primitivas obtidas:
\int\big(\operatorname{sec} x+3\tan x\big)\,dx=\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|-3\ln|\cos x|+C.
Podemos também reescrever usando \ln|\operatorname{sec} x|=-\ln|\cos x|, então
-3\ln|\cos x|=3\ln|\operatorname{sec} x|
e uma forma compacta equivalente é
\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+3\ln|\operatorname{sec} x|+C=\ln\big(|\operatorname{sec}^3 x(\operatorname{sec} x+\tan x)|\big)+C.
Qualquer uma dessas formas é uma primitiva válida (a diferença entre elas é só uma constante).

Passo 6

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando
\frac{d}{dx}\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|=\frac{\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x}{\operatorname{sec} x+\tan x}=\operatorname{sec} x,
e
\frac{d}{dx}\big(-3\ln|\cos x|\big)=-3\cdot\left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right)=3\tan x.
Somando dá \operatorname{sec} x+3\tan x, que é exatamente f(x). Então está correto.

Passo 7

Resumo e dica prática para a prova: memorize a primitiva \int\operatorname{sec} x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C e \int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C. Quando aparecer somas, use linearidade e some as primitivas. Respire fundo — você conseguiu chegar na resposta com passos diretos!

Resposta

\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|-3\ln|\cos x|+C

Exercícios relacionados