Determine uma primitiva da função.
f(x)=x^{4}+3 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma primitiva da função \;f(x)=x^{4}+3\sqrt{x}\;.
Informações dadas:
\;f(x) é a soma de dois termos: \;x^{4} e \;3\sqrt{x}.\n
Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada \sqrt{x} é a função real definida para \;x\ge 0. Portanto faz sentido procurar a primitiva em [0,\infty) (ou em qualquer intervalo contido nele).
A pergunta que vamos responder: encontrar uma função \;F(x) tal que \;F'(x)=f(x) (a primitiva geral, com constante de integração).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
Linearidade da integral: para funções u(x) e v(x) e constantes a,b,
\int \bigl(a\,u(x)+b\,v(x)\bigr)\,dx = a\int u(x)\,dx + b\int v(x)\,dx.
Regra da potência (regra básica para primitiva): se n\neq -1 então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Aqui n é o expoente (um número real) e x é a variável. Exemplo rápido: \int x^{2}\,dx = x^{3}/3 + C porque 2+1=3 e dividimos por 3.

Passo 3

Primeiro passo prático: escrever \sqrt{x} como potência.
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Assim podemos reescrever a função dada como
f(x)=x^{4}+3x^{1/2}.

Passo 4

Aplicamos a linearidade da integral e separamos os termos:
\int f(x)\,dx = \int x^{4}\,dx + 3\int x^{1/2}\,dx.
Agora integramos cada parcela usando a regra da potência.

Passo 5

Integral do primeiro termo: usar n=4 na regra da potência.
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_{1} = \frac{x^{5}}{5} + C_{1}.
Expliquei: aumentamos o expoente em 1 (de 4 para 5) e dividimos por esse novo expoente ( 5).

Passo 6

Integral do segundo termo: primeiro \int x^{1/2}\,dx com n=1/2.
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C_{2} = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_{2}.
Simplificando \dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}, obtemos
\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C_{2}.
Como havia um fator 3 multiplicando esse termo na função original, multiplicamos:
3\int x^{1/2}\,dx = 3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} = 2x^{3/2}.

Passo 7

Agora juntamos os resultados das parcelas e unificamos as constantes C_{1} e C_{2} numa única constante C:
\int f(x)\,dx = \frac{x^{5}}{5} + 2x^{3/2} + C.
Aqui C é uma constante arbitrária (soma de C_{1} e C_{2}).

Passo 8

Verificação rápida (importante na prova): derivando \displaystyle F(x)=\frac{x^{5}}{5}+2x^{3/2}+C deve voltar f(x).
Derivadas: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{5}}{5}\right)=x^{4}.
E \dfrac{d}{dx}\!\left(2x^{3/2}\right)=2\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=3x^{1/2}.
Somando: x^{4}+3x^{1/2}=f(x). Confere!

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{x^{5}}{5}+2x^{3/2}+C

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