Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma primitiva da função
.
Informações dadas:
é a soma de dois termos:
e
.\n
Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada é a função real definida para
. Portanto faz sentido procurar a primitiva em
(ou em qualquer intervalo contido nele).
A pergunta que vamos responder: encontrar uma função tal que
(a primitiva geral, com constante de integração).
Informações dadas:
Observação importante sobre domínio: a raiz quadrada
A pergunta que vamos responder: encontrar uma função
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
Linearidade da integral: para funções e
e constantes
,
Linearidade da integral: para funções
Regra da potência (regra básica para primitiva): se
então
onde
é a constante arbitrária de integração. Aqui
é o expoente (um número real) e
é a variável. Exemplo rápido:
porque
e dividimos por
.
Passo 3
Primeiro passo prático: escrever
como potência.
Assim podemos reescrever a função dada como
Passo 4
Aplicamos a linearidade da integral e separamos os termos:
Agora integramos cada parcela usando a regra da potência.
Passo 5
Integral do primeiro termo: usar
na regra da potência.
Expliquei: aumentamos o expoente em
(de
para
) e dividimos por esse novo expoente (
).
Passo 6
Integral do segundo termo: primeiro
com
.
Simplificando
, obtemos
Como havia um fator
multiplicando esse termo na função original, multiplicamos:
Passo 7
Agora juntamos os resultados das parcelas e unificamos as constantes
e
numa única constante
:
Aqui
é uma constante arbitrária (soma de
e
).
Passo 8
Verificação rápida (importante na prova): derivando
deve voltar
.
Derivadas: .
E .
Somando: . Confere!
Derivadas:
E
Somando: