Determine uma primitiva da função.
f(x)=3 x^{2}+\frac{5}{2} x

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma primitiva da função.” A função fornecida é \,f(x)=3x^{2}+\frac{5}{2}x.
Informações relevantes: temos f(x) expressa como soma de dois termos polinomiais com coeficientes \,3 e \,\frac{5}{2}. A tarefa é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) (ou seja, uma primitiva/antiderivada).

Passo 2

O que é uma primitiva? Uma primitiva de \,f é qualquer função F que, ao ser derivada, retorna \,f. Em notação, F'(x)=f(x). Primitivas não são únicas: se F é primitiva, então F+C (com C constante) também é primitiva. Por isso sempre adicionamos uma constante de integração C no final.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Linearidade da integral/primitiva: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas e constantes podem sair da primitiva. Em símbolos,
\int (a\cdot g(x) + b\cdot h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
Aqui a,b são constantes.
  1. Regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Isto vem porque, ao derivar \frac{x^{n+1}}{n+1}, obtemos x^{n} (pela regra da potência da derivada). No caso de polinômios, usamos essa fórmula termo a termo.

Passo 4

Vamos aplicar a linearidade: separar a primitiva de cada termo.
\int \left(3x^{2}+\frac{5}{2}x\right)\,dx = 3\int x^{2}\,dx + \frac{5}{2}\int x\,dx.
Aqui extraímos as constantes 3 e \frac{5}{2} para fora das integrais.

Passo 5

Calcular \int x^{2}\,dx usando a regra da potência com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^{3}}{3} + C.
Como estamos somando duas primitivas, podemos juntar as constantes no final; por enquanto usamos a primitiva particular \frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Calcular \int x\,dx (aqui n=1):
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 7

Voltar à expressão do passo 4 e substituir os resultados:
3\int x^{2}\,dx + \frac{5}{2}\int x\,dx = 3\left(\frac{x^{3}}{3}\right) + \frac{5}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}\right) + C.
Agora simplificamos cada termo.

Passo 8

Simplificação termo a termo:
  1. 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
  2. \frac{5}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{5}{4}x^{2}.
Portanto a primitiva obtida é
F(x)=x^{3}+\frac{5}{4}x^{2}+C.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom conferir na hora da prova): derivamos F(x) para ver se volta f(x). Usando a regra da potência na derivada:
\frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\left(\frac{5}{4}x^{2}\right)=\frac{5}{4}\cdot 2x=\frac{5}{2}x,
e a derivada de C é 0. Somando,
F'(x)=3x^{2}+\frac{5}{2}x,
que é exatamente f(x). Checado!

Resposta

F(x)=x^{3}+\dfrac{5}{4}x^{2}+C

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