Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma primitiva da função.” A função fornecida é
.
Informações relevantes: temos expressa como soma de dois termos polinomiais com coeficientes
e
. A tarefa é encontrar uma função
tal que
(ou seja, uma primitiva/antiderivada).
Informações relevantes: temos
Passo 2
O que é uma primitiva? Uma primitiva de
é qualquer função
que, ao ser derivada, retorna
. Em notação,
. Primitivas não são únicas: se
é primitiva, então
(com
constante) também é primitiva. Por isso sempre adicionamos uma constante de integração
no final.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da integral/primitiva: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas e constantes podem sair da primitiva. Em símbolos,
Aqui
são constantes.
- Regra da potência para primitiva: para
,
Isto vem porque, ao derivar
, obtemos
(pela regra da potência da derivada). No caso de polinômios, usamos essa fórmula termo a termo.
Passo 4
Vamos aplicar a linearidade: separar a primitiva de cada termo.
Aqui extraímos as constantes
e
para fora das integrais.
Passo 5
Calcular
usando a regra da potência com
:
Como estamos somando duas primitivas, podemos juntar as constantes no final; por enquanto usamos a primitiva particular
.
Passo 6
Calcular
(aqui
):
Passo 7
Voltar à expressão do passo 4 e substituir os resultados:
Agora simplificamos cada termo.
Passo 8
Simplificação termo a termo:
Portanto a primitiva obtida é
Passo 9
Verificação rápida (sempre bom conferir na hora da prova): derivamos
para ver se volta
. Usando a regra da potência na derivada:
e a derivada de
é
. Somando,
que é exatamente
. Checado!