Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma primitiva da função.”
A função dada é .
Informações relevantes: a expressão explícita de foi fornecida; precisamos encontrar uma função
tal que
. Não há outras restrições.
A função dada é
Informações relevantes: a expressão explícita de
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para integrar mais facilmente. Multiplicamos o
por cada termo dentro do parênteses:
Passo 3
Ferramenta principal que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a primitiva da soma é a soma das primitivas e constantes podem sair da integral. Em símbolos:
onde
é constante. Aqui aplicamos isso a
.
Passo 4
Regra central para integrar potências: regra da potência (para antiderivada). Diz que, para um número real
com
,
onde
é a constante de integração. Explicando as variáveis:
é a variável de integração,
é o expoente da potência, e
é uma constante arbitrária porque derivada de constante é zero.
Passo 5
Aplicamos a linearidade e a regra da potência termo a termo:
Usando
e a regra da potência com
,
logo
Para o segundo termo, usando
,
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
com
sendo uma constante arbitrária real.
Passo 7
Verificação (sempre bom checar na prova): derivamos
para ver se volta a
.
Derivada termo a termo usando a regra da potência para derivação:
Derivada termo a termo usando a regra da potência para derivação:
Somando,
que coincide com
(lembrando que tiramos essa forma de
no Passo 2). Então
está correta.