Determine uma primitiva da função.
f(x)=x\left(12 x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma primitiva da função.”
A função dada é f(x)=x\left(12 x^{2}+1\right).
Informações relevantes: a expressão explícita de f(x) foi fornecida; precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Não há outras restrições.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para integrar mais facilmente. Multiplicamos o x por cada termo dentro do parênteses:
f(x)=x\left(12x^{2}+1\right)=12x^{3}+x.

Passo 3

Ferramenta principal que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a primitiva da soma é a soma das primitivas e constantes podem sair da integral. Em símbolos:
\int\big(a(x)+b(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx,
\int k\cdot g(x)\,dx = k\int g(x)\,dx,
onde k é constante. Aqui aplicamos isso a \int(12x^{3}+x)\,dx.

Passo 4

Regra central para integrar potências: regra da potência (para antiderivada). Diz que, para um número real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Explicando as variáveis: x é a variável de integração, n é o expoente da potência, e C é uma constante arbitrária porque derivada de constante é zero.

Passo 5

Aplicamos a linearidade e a regra da potência termo a termo:
\int(12x^{3}+x)\,dx = \int 12x^{3}\,dx + \int x\,dx.
Usando \int 12x^{3}\,dx = 12\int x^{3}\,dx e a regra da potência com n=3,
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},
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\int 12x^{3}\,dx = 12\cdot\frac{x^{4}}{4}=3x^{4}.
Para o segundo termo, usando n=1,
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=3x^{4}+\frac{x^{2}}{2}+C,
com C sendo uma constante arbitrária real.

Passo 7

Verificação (sempre bom checar na prova): derivamos F(x) para ver se volta a f(x).
Derivada termo a termo usando a regra da potência para derivação:
\frac{d}{dx}\left(3x^{4}\right)=3\cdot4x^{3}=12x^{3},
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot2x=x.
Somando,
F'(x)=12x^{3}+x,
que coincide com f(x) (lembrando que tiramos essa forma de f no Passo 2). Então F está correta.

Resposta

3x^{4}+\dfrac{x^{2}}{2}+C

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