Determine uma primitiva da função.
f(x)=2 \sqrt{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine uma primitiva (ou antiderivada) da função f(x)=2\sqrt{1-x^{2}}.\n
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2\sqrt{1-x^{2}}.\n
    O que é pedido:
  • Achar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) para x onde a expressão está definida (ou seja, para x\in[-1,1]).\n

Passo 2

Observação sobre estratégia (sem resolver ainda): a raiz \sqrt{1-x^{2}} sugere usar uma substituição trigonométrica simples porque \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Vou usar a substituição
x=\sin\theta,
pois com isso \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (escolhendo \theta no intervalo principal onde \cos\theta\ge0, por exemplo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]). Essa substituição costuma simplificar integrais com \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 3

Fazendo a substituição x=\sin\theta:
  • Diferencial: dx=\cos\theta\,d\theta.
  • A raiz vira: \sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta.
    Substituindo na integral de f:
\int 2\sqrt{1-x^{2}}\,dx = 2\int \cos\theta\cdot (dx).
Mas dx=\cos\theta\,d\theta, então
\int 2\sqrt{1-x^{2}}\,dx = 2\int \cos\theta\cdot \cos\theta\,d\theta = 2\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \cos^{2}\theta usamos a identidade trigonométrica de dobro ângulo:
\cos^{2}\theta = \tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta).
Substituindo:
2\int \cos^{2}\theta\,d\theta = 2\int \tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta)\,d\theta = \int (1+\cos 2\theta)\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
  • \int 1\,d\theta = \theta.
  • \int \cos 2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\sin 2\theta (porque a primitiva de \cos(k\theta) é \tfrac{1}{k}\sin(k\theta)).\n
    Portanto
\int (1+\cos 2\theta)\,d\theta = \theta + \tfrac{1}{2}\sin 2\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável x. Temos x=\sin\theta, então \theta=\arcsin x. Além disso,
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2x\cos\theta,
e \cos\theta=\sqrt{1-x^{2}} (novamente, tomando o ramo não negativo da raiz para \theta no intervalo escolhido). Substituindo:
\theta + \tfrac{1}{2}\sin 2\theta + C = \arcsin x + \tfrac{1}{2}\cdot 2x\sqrt{1-x^{2}} + C.
Isso simplifica para
\arcsin x + x\sqrt{1-x^{2}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando F(x)=\arcsin x + x\sqrt{1-x^{2}} + C deve voltar f(x).
  • \dfrac{d}{dx}\arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Para x\sqrt{1-x^{2}}, aplicamos regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(x\sqrt{1-x^{2}}\big) = \sqrt{1-x^{2}} + x\cdot \dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x).Simplificando o segundo termo: x\cdot \dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) = -\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.Soma dos dois termos: \sqrt{1-x^{2}} - \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} = \dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} = \sqrt{1-x^{2}}.
  • Somando com a derivada de \arcsin x: \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \sqrt{1-x^{2}} = \dfrac{1 + (1-x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}} = \dfrac{2 - x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.Ops, revisão: é mais direto combinar corretamente: escrevendo \sqrt{1-x^{2}} = \dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \sqrt{1-x^{2}} = \dfrac{1 + (1-x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}} = \dfrac{2 - x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.Mas note que ao recombinar com o termo anterior corretamente obtém-se na verdade 2\sqrt{1-x^{2}}. Para evitar confusão: use a forma já simplificada do derivado do produto que obtivemos acima; somando a derivada de \arcsin x e do produto, chegamos a \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \left(\sqrt{1-x^{2}} - \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} - \dfrac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) + \sqrt{1-x^{2}} = \dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + \sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1-x^{2}} + \sqrt{1-x^{2}} = 2\sqrt{1-x^{2}}.Assim a derivada de F é exatamente 2\sqrt{1-x^{2}}, como queríamos.

Passo 8

Conclusão: uma primitiva de f(x)=2\sqrt{1-x^{2}} é
F(x)=\arcsin x + x\sqrt{1-x^{2}} + C.

Resposta

\arcsin x + x\sqrt{1-x^{2}} + C

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