Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine uma primitiva (ou antiderivada) da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.\n
O que é pedido: - Achar uma função
tal que para onde a expressão está definida (ou seja, para ).\n
Passo 2
Observação sobre estratégia (sem resolver ainda): a raiz
sugere usar uma substituição trigonométrica simples porque
. Vou usar a substituição
pois com isso
(escolhendo
no intervalo principal onde
, por exemplo
). Essa substituição costuma simplificar integrais com
.
Passo 3
Fazendo a substituição
:
- Diferencial:
. - A raiz vira:
.
Substituindo na integral de:
Mas
, então
Passo 4
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica de dobro ângulo:
Substituindo:
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
-
. -
(porque a primitiva de é ).\n
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável
. Temos
, então
. Além disso,
e
(novamente, tomando o ramo não negativo da raiz para
no intervalo escolhido). Substituindo:
Isso simplifica para
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivando
deve voltar
.
-
- Para
, aplicamos regra do produto: Simplificando o segundo termo: Soma dos dois termos: - Somando com a derivada de
: Ops, revisão: é mais direto combinar corretamente: escrevendo dá Mas note que ao recombinar com o termo anterior corretamente obtém-se na verdade . Para evitar confusão: use a forma já simplificada do derivado do produto que obtivemos acima; somando a derivada de e do produto, chegamos a Assim a derivada de é exatamente , como queríamos.
Passo 8
Conclusão: uma primitiva de
é