Determine uma primitiva para as funções:
f(x)=2x+1+x^2+sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=2x+1+x^2+sin(2x),
ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). Vamos usar a linearidade da integral e as integrais básicas de 1x+1, de x^2 e de sin(2x).

Passo 2

Pela propriedade de linearidade,
integral f(x),dx =integral 2x+1,dx+integral x^2,dx+integral sin(2x),dx

Passo 3

Para a primeira parcela usamos que integral 1x+1,dx=ln|x+1|. Logo,
integral 2x+1,dx =2integral 1x+1,dx =2lnl|x+1r|

Passo 4

Para a segunda parcela, a fórmula de potência dá
integral x^2,dx =x^33

Passo 5

Na terceira parcela fazemos a substituição u=2x, du=2,dx, ou seja dx=tfracdu2, obtendo
integral sin(2x),dx =integral sin(u),du2 =-12cos(u) =-12cos(2x)

Resposta

Uma primitiva de f é
F(x)=2lnl|x+1r|+x^33-12cos(2x)+C,
onde C é a constante de integração.

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