Determine uma primitiva para as funções:
f(x)=2 x-raiz[3]x^2

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=2x-raiz[3]x^2
O conteúdo aqui é a regra de potência para integrais e o cuidado de que, no caso da raiz cúbica de x^2, temos
raiz[3]x^2=(x^2)^1/3=|x|^2/3.

Passo 2

Escrevemos
integral f(x),dx =integrall(2x-(x^2)^1/3r),dx =integral 2x,dx-integral|x|^2/3,dx
Assim isolamos a integral de 2x, que é direta pela regra da potência, e a de |x|^2/3.

Passo 3

Para a primeira parcela, usando integral x^n,dx = x^n+1/(n+1), temos
integral 2x,dx =2cdotx^22 =x^2

Passo 4

Para a segunda parcela, usamos a fórmula generalizada
integral |x|^p,dx =x,|x|^pp+1+C,
válida para pneq -1. Aqui p=2/3, logo
integral |x|^2/3,dx =x,|x|^2/3tfrac23+1 =x,|x|^2/3tfrac53 =35,x,|x|^2/3

Passo 5

Subtraindo essa parte da integral total e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva
F(x) =x^2-35,x,|x|^2/3+C

Resposta

F(x)=x^2-35,x,|x|^2/3+C

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