Seja f uma função com domínio D. Por sup f designa-se o supremo do conjunto f(D)=f(x): x in D.
Sejam f(x)=sen(x) e g(x)=-sen(x), definidas sobre R. Determine sup f, sup g e sup (f+g).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o supremo (ou seja, o maior valor) das funções f(x) = sin(x) , g(x) = -sin(x) e da soma dessas duas funções f + g . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as funções trigonométricas, especificamente o seno, e como determinar seus valores máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o supremo da função f(x) = sin(x) . A função seno é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. Isso significa que seus valores nunca passam de 1 nem ficam abaixo de -1. Portanto, o maior valor que sin(x) atinge é 1.
sup f = 1

Passo 3

Agora, vamos determinar o supremo da função g(x) = -sin(x) . Como g(x) é simplesmente o oposto de sin(x) , os valores de g(x) também variam entre -1 e 1. O menor valor de sin(x) é -1, então o maior valor de -sin(x) será -(-1) = 1 .
sup g = 1

Passo 4

Por último, vamos calcular o supremo da soma das duas funções, f(x) + g(x) . Vamos somar sin(x) e -sin(x) :
f(x) + g(x) = sin(x) - sin(x) = 0
Então, a função resultante é sempre 0, independente do valor de x . Portanto, o supremo de f + g é 0.
sup (f + g) = 0

Resposta

sup f = 1, sup g = 1, sup (f + g) = 0

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