Determine a primitiva das funções f(x)=tg^2(x)+1tg^2(x)+2 tg(x)+1 e g(x)=3 x raiz[3]4-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (antiderivada) de duas funções:
f(x)=dfractan^2(x)+1tan^2(x)+2tan(x)+1 e g(x)=3xraiz[3]4-x^2.
O conteúdo aqui envolve técnicas de substituição em integração.

Passo 2

Para f(x) note que
tan^2(x)+1=sec^2(x)
e o denominador é (tan(x)+1)^2.
Fazendo a substituição
u = tan(x)+1, du = sec^2(x),dx,
temos
integral f(x),dx = integral sec^2(x)(tan(x)+1)^2,dx = integral duu^2 = -1u + C = -1tan(x)+1 + C

Passo 3

Para g(x)=3x(4-x^2)^13 usamos a substituição
v = 4 - x^2, dv = -2x,dxLongrightarrow x,dx = -tfrac12,dv
Então
integral g(x),dx = 3integral x(4-x^2)^13,dx = -32integral v^13,dv = -32cdotv^43tfrac43 + C = -98v^43 + C = -98(4-x^2)^43 + C

Resposta

integral f(x),dx = -1tan(x)+1 + C
integral g(x),dx = -98(4-x^2)^tfrac43 + C

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