Exercício 4. Sabendo que o lado
da placa
está isolado, que o lado
é mantido à temperatura
e que os lados
e
são mantidos à temperatura
, determine a temperatura de regime estacionário
.
Sugestão: Encontre primeiro a função
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em regime estacionário da placa retangular
sujeita à equação de Laplace
com as condições de contorno
A sugestão é definir
de modo que
satisfaça Laplace com condições homogêneas em
e
e Neumann em
.
Passo 2
Escrevendo o problema para
, temos
Usamos separação de variáveis
. Substituindo em Laplace:
Isso gera os dois ODEs
Passo 3
Para cumprir
e
escolhemos
. Então
tem solução geral
. A condição
dá
e
exige
portanto
Passo 4
Para cada
, o
satisfaz
cuja solução que zera em
é (até constante)
pois
. Logo o modo geral é
Passo 5
Impondo
obtemos a expansão em série de cossenos:
Os coeficientes vêm de
Assim
Resposta
Voltando a
, a solução é