Exercício 4. Sabendo que o lado y=0 da placa 0<x<a, 0<y<b está isolado, que o lado x=0 é mantido à temperatura u=0 e que os lados x=a e y=b são mantidos à temperatura u=U0, determine a temperatura de regime estacionário u(x, y).
Sugestão: Encontre primeiro a função w(x, y)=u(x, y)-U0.

Passo 1

O enunciado pede a solução em regime estacionário da placa retangular
0<x<a, 0<y<b
sujeita à equação de Laplace
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = 0
com as condições de contorno
partial upartial y(x,0)=0, u(0,y)=0, u(a,y)=U0, u(x,b)=U0
A sugestão é definir
w(x,y)=u(x,y)-U0,
de modo que w satisfaça Laplace com condições homogêneas em x=a e y=b e Neumann em y=0.

Passo 2

Escrevendo o problema para w, temos
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2=0,
partial wpartial y(x,0)=0, w(0,y)=-U0, w(a,y)=0, w(x,b)=0
Usamos separação de variáveis w(x,y)=X(x),Y(y). Substituindo em Laplace:
X''(x),Y(y)+X(x),Y''(y)=0 Longrightarrow X''X=-Y''Y=-lambda
Isso gera os dois ODEs
X''+lambda X=0, Y''-lambda Y=0

Passo 3

Para cumprir Y'(0)=0 e Y(b)=0 escolhemos lambda=-mu^2<0. Então
Y''+mu^2Y=0
tem solução geral Y=Acos(mu y)+Bsin(mu y). A condição Y'(0)=0 B=0 e Y(b)=0 exige
cos(mu b)=0 Longrightarrow mun=(2n+1)pi2b,;n=0,1,2,dots
portanto
Yn(y)=cos!l((2n+1)pi2b,yr)

Passo 4

Para cada mun, o X satisfaz
X''-mun^2X=0,
cuja solução que zera em x=a é (até constante)
Xn(x)=sinh!l[mun,(a-x)r],
pois sinh[mun(a-a)]=0. Logo o modo geral é
w(x,y)=sumn=0^inftyAn,sinh!l[mun,(a-x)r], cos!l(mun yr)

Passo 5

Impondo w(0,y)=-U0 obtemos a expansão em série de cossenos:
-U0 =sumn=0^inftyAn,sinh(mun a), cos(mun y)
Os coeficientes vêm de
An,sinh(mun a) =2bintegral0^b(-U0) cos!l((2n+1)pi2byr),dy =-U0,4(-1)^n(2n+1)pi
Assim
An=-U0,4(-1)^n(2n+1)pi,sinh!l((2n+1)pi a2br)

Resposta

Voltando a u=w+U0, a solução é
u(x,y) =U0 -4U0pi sumn=0^infty (-1)^n2n+1, sinh!l((2n+1)pi2b(a-x)r) sinh!l((2n+1)pi2b,ar) cos!l((2n+1)pi2b,yr)

Exercícios relacionados