Exercício 3. Resolva o problema de Dirichlet na faixa semi-infinita
ux x+uy y=0 em D & uy(x, 0)=u(x, b)=0 & b u(0, y)=g(y) & u limitada &
sendo g(y) uma função supostamente dada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
uxx+uyy=0
no domínio semi-infinito
D=(x,y)mid x>0,;0<y<b,
com as condições de contorno
uy(x,0)=0, u(x,b)=0, u(0,y)=g(y),
e a exigência de que u seja limitada quando xto+infty.
O método a aplicar é separação de variáveis e expansão de g(y) numa série de autossoluções em y.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em uxx+uyy=0 obtém-se
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0 Longrightarrow X''(x)X(x)=-Y''(y)Y(y)=,-lambda,
onde lambda é constante de separação. Temos assim os sistemas de EDOs
X''-lambda X=0, Y''+lambda Y=0

Passo 3

Impondo as condições em y, ou seja,
Y'(0)=0, Y(b)=0,
resolvemos
Y''+lambda Y=0
Para termos não-trivial, lambda deve ser positivo e igual a
lambdan=l(tfrac(2n+1)pi2br)^2, n=0,1,2,dots
os autovalores. Os autovetores correspondentes são
Yn(y)=cos!l(kn yr), kn=(2n+1)pi2b,
pois verificam Yn'(0)=0 e Yn(b)=cosl((2n+1)tfracpi2r)=0.

Passo 4

Para cada n, a equação em x fica
X''-kn^2 X=0
Como queremos u limitada quando xto+infty, só aceitamos a solução decrescente
Xn(x)=Cn,e^-kn x

Passo 5

A solução geral por superposição é
u(x,y)=sumn=0^inftyCn,e^-kn xcosl(kn yr)
Na fronteira x=0 temos u(0,y)=g(y), logo
g(y)=sumn=0^inftyCncosl(kn yr)
Isso é a série de Fourier-cosseno de g no intervalo [0,b], cujo coeficiente Cn é dado por
Cn=2bintegral0^bg(s),cosl(kn sr),ds, kn=(2n+1)pi2b

Passo 6

Substituindo Cn de volta, concluímos que a solução do problema de Dirichlet é
u(x,y) =sumn=0^inftyl[2bintegral0^bg(s)cos(kn s),dsr], e^-kn xcos(kn y), kn=(2n+1)pi2b

Resposta

boxed u(x,y) =sumn=0^inftyl(2bintegral0^bg(s)cos!l(tfrac(2n+1)pi2b,sr),dsr) ,e^-tfrac(2n+1)pi2bx, cos!l(tfrac(2n+1)pi2b,yr)

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