Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=pi-theta.

Passo 1

Estamos estudando séries de Fourier para funções definidas em (-pi,pi). A missão é calcular a “transformada de Fourier” discreta
widehat f(n);=;integral-pi^pif(theta),e^-i ntheta,dtheta
para a função f(theta)=pi-theta.

Passo 2

Começamos pelo caso n=0:
widehat f(0)=integral-pi^pi(pi-theta),dtheta
Integramos diretamente:
integral(pi-theta),dtheta =pitheta-theta^22
avaliado de -pi a pi, dá
widehat f(0) =l[pitheta-tfractheta^22r]-pi^pi =(pi^2-tfracpi^22)-l(-pi^2-tfracpi^22r) =2pi^2

Passo 3

Agora nneq0. Usamos integração por partes em
widehat f(n) =integral-pi^pi(pi-theta)e^-i ntheta,dtheta
Escolhemos
u=pi-theta, dv=e^-i ntheta,dtheta,
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du=-dtheta, v=e^-i ntheta-i n
Aplicando
integral u,dv =uv-integral v,du
obtemos
widehat f(n) =-pi-thetai n,e^-i ntheta|-pi^pi ;+;integral-pi^pie^-i nthetai n,dtheta
O termo de fronteira é
-0cdot e^-i npi-2pi,e^i npii n =2pi,(-1)^ni n,
enquanto
integral-pi^pie^-i ntheta,dtheta =l[e^-i ntheta-i nr]-pi^pi =(-1)^n-(-1)^n-i n=0
Logo, para nneq0,
widehat f(n) =2pi,(-1)^ni n

Resposta

widehat f(0)=2pi^2, widehat f(n)=2pi,(-1)^ni n (nneq0)

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