Determine a primitiva geral de
f(t)=8 t^{3}-6 \sqrt{t}+1 / t^{3}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva geral de
f(t)=8t^{3}-6\sqrt{t}+\frac{1}{t^{3}}.
O conteúdo principal é a integração de potências, usando a regra
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo de f(t) como potência de t:
8t^{3}-6\sqrt{t}+\frac{1}{t^{3}} = 8t^{3}-6t^{\tfrac12}+t^{-3}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int 8t^{3}\,dt =8\cdot\frac{t^{4}}{4} =2t^{4},
\int -6t^{\tfrac12}\,dt =-6\cdot\frac{t^{\tfrac32}}{\tfrac32} =-6\cdot\frac{2}{3}t^{\tfrac32} =-4t^{\tfrac32},
\int t^{-3}\,dt =\frac{t^{-2}}{-2} =-\frac{1}{2}t^{-2} =-\frac{1}{2t^{2}}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante C, obtemos a primitiva geral:
F(t) =2t^{4}-4t^{\tfrac32}-\frac{1}{2t^{2}}+C.

Resposta

F(t)=2t^{4}-4t^{\tfrac32}-\tfrac{1}{2t^{2}}+C.

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