Existe um número primo maior que 10^{100}.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um número primo maior que 10^{100}. O conteúdo é o Teorema da Infinitude dos Primos e um argumento clássico de divisibilidade usando fatorial.

Passo 2

Definimos o número
N = (10^{100})! + 1.
Esse N é claramente maior que 10^{100}.

Passo 3

Por definição de fatorial, (10^{100})! é o produto de todos os inteiros de 1 até 10^{100}. Logo, todo inteiro k com 2 \le k \le 10^{100} divide (10^{100})!.

Passo 4

Seja p um fator primo de N. Se p \le 10^{100}, então p divide (10^{100})! e também divide N=(10^{100})!+1. Isso implicaria que p divide a diferença
(10^{100})! + 1 \;-\;(10^{100})! \;=\;1,
o que é impossível para todo primo p\ge2. Portanto devemos ter p>10^{100}.

Resposta

Sim, existe um número primo maior que 10^{100}.

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