Determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiōes limitadas pelas retas e curvas nos itens 19-25 em torno do eixo x.
y=x^{3}, \quad y=0, \quad x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do plano limitada por
y = x^3,\quad y=0,\quad x=2.
O método adequado é o dos discos, em que cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio igual a y. Precisaremos montar e calcular uma integral do tipo
V = \int_{a}^{b} \pi\bigl(\text{raio}(x)\bigr)^{2}\,dx.

Passo 2

Em cada abscissa x\in[0,2], a região se estende de y=0 até y=x^3. Ao girar em torno do eixo x, forma-se um disco de raio
R(x) = x^3.
A área desse disco é
A(x) = \pi\bigl[R(x)\bigr]^{2} = \pi\bigl(x^3\bigr)^{2} = \pi\,x^{6}.
Logo, o volume é dado por
V = \int_{0}^{2} A(x)\,dx = \int_{0}^{2} \pi\,x^{6}\,dx.

Passo 3

Calculando a integral, temos
V = \pi \int_{0}^{2} x^{6}\,dx = \pi \left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{2} = \pi \cdot \frac{2^{7}}{7} = \pi \cdot \frac{128}{7} = \frac{128\pi}{7}.

Resposta

V = \frac{128\pi}{7}.

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