Existe uma matriz de ordem 2 \times 2 com entradas inteiras tal que \operatorname{det}(A)=4 \mathrm{e} \operatorname{tr}(A)=7. (Nota: o determinantes de uma matriz \left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] são dados, respectivamente, por a d-b c e a+b.)

Passo 1

O enunciado pede determinar se existe uma matriz de ordem 2\times2 com entradas inteiras tal que \det(A)=4 e \operatorname{tr}(A)=7. O conteúdo envolve resolver um sistema diofantino para as entradas de A.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{Z}. Da definição, temos
a + d = 7,
a d - b c = 4.

Passo 3

Da segunda equação isolamos ad:
ad = 4 + bc.
Como a+d=7, a e d são raízes da equação quadrática
t^2 - 7t + (4 + bc) = 0.

Passo 4

Para obter raízes inteiras, o termo livre 4+bc deve ser tal que o discriminante seja um quadrado perfeito. Vamos testar um valor simples: se escolhermos
bc = 2,
a equação fica
t^2 - 7t + 6 = 0,
cuja soluções são
t = 1\quad\text{ou}\quad t = 6.
Portanto podemos tomar a=1 e d=6 (ou vice-versa) e, por exemplo, escolher b=1, c=2.

Passo 5

Com a=1, b=1, c=2, d=6 temos
\operatorname{tr}(A) = 1 + 6 = 7,
\det(A) = 1\cdot6 - 1\cdot2 = 4.
Logo a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 2 & 6\end{pmatrix}
satisfaz as condições.

Resposta

Sim. Por exemplo,
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 2 & 6\end{pmatrix},
pois \operatorname{tr}(A)=7 e \det(A)=4.

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