Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
h(x)=\operatorname{sec} ^{2} x+\pi \cos x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral de
h(x)=\operatorname{sec}^{2}x+\pi\cos x.
Estamos tratando de integrais indefinidas de funções trigonométricas, aplicando a regra de integração de potência zero em trigonometria e a constante multiplicativa.

Passo 2

Para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx, usamos o fato de que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x.
Logo,
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.

Passo 3

Para \displaystyle \int \pi\cos x\,dx, a constante \pi sai da integral e lembramos que
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Portanto,
\int \pi\cos x\,dx = \pi \int \cos x\,dx = \pi\sin x.

Passo 4

Somando as duas partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva mais geral:
F(x) = \tan x + \pi\sin x + C.
Verificação rápida:
F'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) + \pi\frac{d}{dx}(\sin x) = \operatorname{sec}^{2}x + \pi\cos x = h(x).

Resposta

F(x) = \tan x + \pi\sin x + C.

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