Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
f(r)=\frac{4}{1+r^{2}}-\sqrt[5]{r^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral de
f(r)=\frac{4}{1+r^{2}}-\sqrt[5]{r^{4}}.
O conteúdo aqui é integração indefinida, usando duas regras principais: a integral de \frac{1}{1+r^{2}} que dá arco-tangente e a integral de uma potência r^{a}.

Passo 2

Primeiro, note que
\sqrt[5]{r^{4}}=(r^{4})^{\tfrac15}=r^{\tfrac45}.
Então reescrevemos
f(r)=\frac{4}{1+r^{2}}-r^{\tfrac45}.
Agora separamos a integral em duas partes:
\int f(r)\,\mathrm{d}r =\int\frac{4}{1+r^{2}}\,\mathrm{d}r -\int r^{\tfrac45}\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Para a primeira parte usamos
\int\frac{1}{1+r^{2}}\,\mathrm{d}r=\arctan(r),
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\int\frac{4}{1+r^{2}}\,\mathrm{d}r =4\arctan(r).

Passo 4

Para a segunda parte usamos a regra da potência,
\int r^{a}\,\mathrm{d}r =\frac{r^{a+1}}{a+1}\quad(\,a\neq -1\,).
Aqui a=\tfrac45, então
\int r^{\tfrac45}\,\mathrm{d}r =\frac{r^{\tfrac45+1}}{\tfrac45+1} =\frac{r^{\tfrac{9}{5}}}{\tfrac{9}{5}} =\frac{5}{9}\,r^{\tfrac{9}{5}}.

Passo 5

Juntando as duas partes e adicionando a constante C, obtemos a primitiva geral
F(r)=4\arctan(r)-\frac{5}{9}\,r^{\tfrac{9}{5}}+C.

Passo 6

Para conferir, derivamos F(r):
F'(r) =4\cdot\frac{1}{1+r^{2}} -\frac{5}{9}\cdot\frac{9}{5}\,r^{\tfrac{9}{5}-1} =\frac{4}{1+r^{2}}-r^{\tfrac{4}{5}} =f(r).

Resposta

F(r)=4\arctan(r)-\frac{5}{9}\,r^{\tfrac{9}{5}}+C.

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