Verifique por derivação que
\int \frac{x^{3}}{4+x^{8}} d x=\frac{1}{8} \operatorname{arctg}\left(\frac{x^{4}}{2}\right)+C
onde C é uma constante real qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por derivação, que
\int \frac{x^{3}}{4+x^{8}}\,dx = \frac{1}{8}\arctan\!\biggl(\frac{x^{4}}{2}\biggr)+C.
Para isso, basta mostrar que a derivada de
F(x)=\frac{1}{8}\arctan\!\biggl(\frac{x^{4}}{2}\biggr)+C
é exatamente \dfrac{x^{3}}{4+x^{8}}.

Passo 2

Defina
F(x)=\frac{1}{8}\arctan\!\biggl(\frac{x^{4}}{2}\biggr)+C.
Desprezamos C ao derivar, pois sua derivada é zero.

Passo 3

Use a regra da cadeia para \arctan(u):
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^2},
com u=\dfrac{x^4}{2}.

Passo 4

Calcule u':
u=\frac{x^4}{2} \quad\Longrightarrow\quad u'=\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr) =\frac{4x^3}{2} =2x^3.
Logo,
\frac{d}{dx}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr)\Bigr] =\frac{2x^3}{1+\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr)^{2}} =\frac{2x^3}{1+\tfrac{x^8}{4}} =\frac{2x^3}{\tfrac{4+x^8}{4}} =\frac{8x^3}{4+x^8}.
Multiplicando por \tfrac{1}{8} obtemos
F'(x) =\frac{1}{8}\cdot\frac{8x^3}{4+x^8} =\frac{x^3}{4+x^8}.

Resposta

Verificou-se que
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{8}\arctan\!\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr)+C\Bigr] =\frac{x^3}{4+x^8},
o que confirma a igualdade proposta.

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