Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
f(t)=\frac{2 t-4+3 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral de
f(t)=\frac{2t-4+3\sqrt{t}}{\sqrt{t}}
ou seja, encontrar F(t) tal que F'(t)=f(t). Vamos usar técnicas de integração de potências de t.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando escrevendo tudo em potências de t:
\frac{2t}{\sqrt{t}}=2\,t^{1/2},\quad \frac{-4}{\sqrt{t}}=-4\,t^{-1/2},\quad \frac{3\sqrt{t}}{\sqrt{t}}=3.
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f(t)=2\,t^{1/2}-4\,t^{-1/2}+3.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int 2\,t^{1/2}\,dt =2\cdot\frac{t^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} =\frac{4}{3}\,t^{3/2},
\int -4\,t^{-1/2}\,dt =-4\cdot\frac{t^{1/2}}{\tfrac{1}{2}} =-8\,t^{1/2},
\int 3\,dt =3t.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva mais geral
F(t)=\frac{4}{3}\,t^{3/2}-8\,t^{1/2}+3t+C.

Passo 5

Para conferir, derivamos F(t):
F'(t) =\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2} -8\cdot\frac{1}{2}\,t^{-1/2} +3 =2\,t^{1/2}-4\,t^{-1/2}+3 =\frac{2t-4+3\sqrt{t}}{\sqrt{t}},
que é exatamente f(t).

Resposta

F(t)=\frac{4}{3}\,t^{3/2}-8\,t^{1/2}+3t+C.

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