(2,0) Faça o que se pede:
(a) Calcule a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,0), onde f(x, y)=x^{3}+y^{2}+2 x y e \vec{u} é o versor de \vec{v}=(1,1). Interprete fisicamente o resultado.
(b) No ponto (-1,0), determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento e o valor da taxa de variação em tal vetor. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^{3}+y^{2}+2xy
e pede:
(a) a derivada direcional de f em (-1,0) na direção do versor \vec{u} associado a \vec{v}=(1,1), e sua interpretação física;
(b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento de f em (-1,0) e a taxa de variação máxima.
O conteúdo utilizado será o gradiente de f e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o vetor gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y+2x,
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\nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}+2y,\;2y+2x\bigr).

Passo 3

Avaliamo-lo em (-1,0):
\nabla f(-1,0)=(3\cdot(-1)^{2}+2\cdot0,\;2\cdot0+2\cdot(-1))=(3,\,-2).
O versor na direção de \vec{v}=(1,1) é
\vec{u}=\frac{1}{\|\,(1,1)\,\|}(1,1) =\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
A derivada direcional é
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,0) =\nabla f(-1,0)\cdot\vec{u} =(3,-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) =\frac{3-2}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Fisicamente, \tfrac{1}{\sqrt{2}} é a taxa de variação instantânea de f por unidade de comprimento quando nos deslocamos em (-1,0) na direção de (1,1). Como é positivo, f cresce nesse sentido.

Passo 5

O vetor de maior crescimento de f em um ponto é dado pelo próprio gradiente. Em (-1,0) esse vetor é
\nabla f(-1,0)=(3,-2).
A taxa de variação máxima é o comprimento desse vetor:
\|\nabla f(-1,0)\| =\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{9+4} =\sqrt{13}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(-1,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
(b) O vetor de direção e sentido de maior crescimento é \nabla f(-1,0)=(3,-2) e a taxa de variação máxima é \sqrt{13}.

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