Faça o que se pede:
(a) Calcule a derivada direcional
, onde
e
é o versor de
. Interprete fisicamente o resultado.
(b) No ponto
, determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento e o valor da taxa de variação em tal vetor. Justifique a sua resposta.
(a) Calcule a derivada direcional
(b) No ponto
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) a derivada direcional de em
na direção do versor
associado a
, e sua interpretação física;
(b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento de em
e a taxa de variação máxima.
O conteúdo utilizado será o gradiente de e a fórmula da derivada direcional.
(a) a derivada direcional de
(b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento de
O conteúdo utilizado será o gradiente de
Passo 2
Calculamos o vetor gradiente de
:
logo
Passo 3
Avaliamo-lo em
:
O versor na direção de
é
A derivada direcional é
Passo 4
Fisicamente,
é a taxa de variação instantânea de
por unidade de comprimento quando nos deslocamos em
na direção de
. Como é positivo,
cresce nesse sentido.
Passo 5
O vetor de maior crescimento de
em um ponto é dado pelo próprio gradiente. Em
esse vetor é
A taxa de variação máxima é o comprimento desse vetor:
Resposta
(a)
.
(b) O vetor de direção e sentido de maior crescimento é e a taxa de variação máxima é
.
(b) O vetor de direção e sentido de maior crescimento é