(1,0) Verifique se a função f(x, y)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) é diferenciável no ponto (0,0). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se a função
f(x,y)=\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
é diferenciável no ponto (0,0). O conteúdo que vamos usar é a definição de diferenciabilidade em \mathbb{R}^{2}, que diz que f é diferenciável em (0,0) se existir uma aproximação linear
L(h,k)=A\,h+B\,k
talcual
f(0+h,0+k)-f(0,0)-L(h,k)=o\bigl(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\bigr).
Os coeficientes A e B devem ser as derivadas parciais de f em (0,0).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
pelo efeito de cadeia temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2y.
Em particular, em (0,0) isso vira
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\cos(0)\cdot 0=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\cos(0)\cdot 0=0.

Passo 3

Logo a melhor aproximação linear (o diferencial) em (0,0) é
L(h,k)=0\cdot h + 0\cdot k = 0.
A condição de diferenciabilidade exige
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =0.
Como f(0,0)=\sin(0)=0 e L(h,k)=0, o numerador é simplesmente \sin(h^{2}+k^{2}).

Passo 4

Definindo r=\sqrt{h^{2}+k^{2}}, temos
\frac{\bigl|\,\sin(h^{2}+k^{2})\bigr|}{r} =\frac{|\sin(r^{2})|}{r}.
Para r\to 0, como \sin(u)\sim u quando u\to 0, vale
\frac{|\sin(r^{2})|}{r} \approx \frac{r^{2}}{r}=r
e, portanto, tende a 0. Assim
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\sin(h^{2}+k^{2})}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0,
o que garante a diferenciabilidade.

Resposta

A função f(x,y)=\sin(x^{2}+y^{2}) é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados