Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua resposta derivando-a.)
g(x)=\sqrt{x}\left(2-x+6 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva mais geral de
g(x)=\sqrt{x}\,\bigl(2 - x + 6x^{2}\bigr).
Isso envolve integração de funções do tipo x^{\alpha}. Vamos usar a regra
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C,
válida para \alpha \neq -1.

Passo 2

Primeiro expandimos g(x) em potências de x:
g(x) = \sqrt{x}\,(2) \;-\;\sqrt{x}\,(x)\;+\;6\,\sqrt{x}\,(x^{2}) = 2\,x^{\tfrac12} \;-\; x^{\tfrac32} \;+\;6\,x^{\tfrac52}.

Passo 3

Integramos termo a termo. Para o primeiro termo:
\int 2\,x^{\tfrac12}\,dx = 2 \,\frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} =2\,\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} =\frac{4}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 4

Para o segundo termo:
\int -\,x^{\tfrac32}\,dx =-\;\frac{x^{\tfrac32+1}}{\tfrac32+1} =-\;\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} =-\;\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52}.

Passo 5

Para o terceiro termo:
\int 6\,x^{\tfrac52}\,dx =6\;\frac{x^{\tfrac52+1}}{\tfrac52+1} =6\;\frac{x^{\tfrac72}}{\tfrac72} =\frac{12}{7}\,x^{\tfrac72}.

Passo 6

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x) =\frac{4}{3}\,x^{\tfrac32} -\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} +\frac{12}{7}\,x^{\tfrac72} + C.

Passo 7

Para conferir, derivamos F(x):
F'(x) =\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\tfrac12} -\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{\tfrac32} +\frac{12}{7}\cdot\frac{7}{2}x^{\tfrac52} =2\,x^{\tfrac12}-x^{\tfrac32}+6\,x^{\tfrac52} =g(x),
como desejado.

Resposta

F(x)=\frac{4}{3}\,x^{\tfrac32} -\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} +\frac{12}{7}\,x^{\tfrac72} + C.

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