Determine a primitiva mais geral:
\int_{0}^{1} \operatorname{arctg}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=\int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(x)\,dx.
Informações dadas e úteis:
  • A função \operatorname{arctg}(x) (ou seja, a função arco-tangente) é contínua em [0,1], portanto a integral existe.
  • Queremos o valor numérico exato de I (não uma primitiva indefinida).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar integração por partes. Por que? A integranda é \operatorname{arctg}(x)\cdot 1. A integração por partes é indicada quando temos um produto em que uma parcela simplifica ao derivar (aqui \operatorname{arctg}(x)) e a outra é fácil de integrar (aqui 1). Vou explicar a fórmula de integração por partes de forma curta e clara.
Fórmula (derivação rápida): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto
\big(u(x)v(x)\big)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados de a até b obtemos
\int_{a}^{b} u'(x)v(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\,dx.
Reescrevendo com du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx, a forma usual é
\int_{a}^{b} u\,dv = \big[uv\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Isso é o que vamos aplicar.

Passo 3

Aplicando integração por partes ao nosso caso, tomamos
u=\operatorname{arctg}(x),\qquad dv=dx.
Agora calculamos du e v:
  • Derivada da arco-tangente: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(x)\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Logo
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
  • Integrando dv=dx obtemos v=x (pois \int dx = x).
Substituindo na fórmula de integração por partes:
I=\int_{0}^{1}\operatorname{arctg}(x)\,dx = \big[x\operatorname{arctg}(x)\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Avaliar o termo de fronteira \big[x\operatorname{arctg}(x)\big]_{0}^{1}:
  • Em x=1: \operatorname{arctg}(1)=\dfrac{\pi}{4} (porque a tangente de \pi/4 é 1), então 1\cdot\operatorname{arctg}(1)=\dfrac{\pi}{4}.
  • Em x=0: 0\cdot\operatorname{arctg}(0)=0.
    Portanto o termo de fronteira vale \dfrac{\pi}{4}.
Assim
I=\frac{\pi}{4} - \int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral restante
J=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Usamos substituição simples: seja t=1+x^{2}. Então dt=2x\,dx, isto é x\,dx=\dfrac{dt}{2}.
Mudança de limites: quando x=0 tem-se t=1; quando x=1 tem-se t=2.
Substituindo:
J=\int_{t=1}^{2}\frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{dt}{t}.
Sabemos que \displaystyle\frac{d}{dt}\big(\ln t\big)=\frac{1}{t}, logo
J=\frac{1}{2}\big[\ln t\big]_{1}^{2}=\frac{1}{2}\big(\ln 2 - \ln 1\big).
Como \ln 1=0, obtemos
J=\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Voltando para I:
I=\frac{\pi}{4} - J = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2.
Esse é o valor exato da integral. Se quiser uma ideia numérica rápida, \dfrac{\pi}{4}\approx 0,7854 e \dfrac{1}{2}\ln 2\approx 0,3466, logo I\approx 0,4388. Mas o resultado exato é mais importante.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2

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