Determine a primitiva mais geral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e úteis:
- A função
(ou seja, a função arco-tangente) é contínua em , portanto a integral existe. - Queremos o valor numérico exato de
(não uma primitiva indefinida).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar integração por partes. Por que? A integranda é
. A integração por partes é indicada quando temos um produto em que uma parcela simplifica ao derivar (aqui
) e a outra é fácil de integrar (aqui
). Vou explicar a fórmula de integração por partes de forma curta e clara.
Fórmula (derivação rápida): se
e
são funções diferenciáveis, então pela regra do produto
Integrando ambos os lados de
até
obtemos
Reescrevendo com
e
, a forma usual é
Isso é o que vamos aplicar.
Passo 3
Aplicando integração por partes ao nosso caso, tomamos
Agora calculamos
e
:
- Derivada da arco-tangente:
. Logo
- Integrando
obtemos (pois ).
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Passo 4
Avaliar o termo de fronteira
:
- Em
: (porque a tangente de é ), então . - Em
: .
Portanto o termo de fronteira vale.
Assim
Passo 5
Agora calculamos a integral restante
Usamos substituição simples: seja
. Então
, isto é
.
Mudança de limites: quando tem-se
; quando
tem-se
.
Mudança de limites: quando
Substituindo:
Sabemos que
, logo
Como
, obtemos
Passo 6
Voltando para
:
Esse é o valor exato da integral. Se quiser uma ideia numérica rápida,
e
, logo
. Mas o resultado exato é mais importante.