Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int\left(e^{2 x}+5 e^{-x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva geral (integral indefinida) da função
f(x) = e^{2x} + 5e^{-x},
ou seja, calcular
\int \bigl(e^{2x} + 5e^{-x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a aplicação da linearidade da integral e da fórmula básica
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C.

Passo 2

Pela linearidade das integrais, separamos
\int \bigl(e^{2x} + 5e^{-x}\bigr)\,dx = \int e^{2x}\,dx \;+\; 5\int e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int e^{2x}\,dx, usamos a=2. Logo,
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Para \displaystyle 5\int e^{-x}\,dx, usamos a=-1. Assim,
5\int e^{-x}\,dx = 5 \cdot \Bigl(\frac{1}{-1}e^{-x}\Bigr) = -5e^{-x}.

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral
F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} \;-\;5e^{-x} \;+\; C.

Passo 6

Verificação por diferenciação:
F'(x) = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac12 e^{2x}\Bigr) - \frac{d}{dx}\!\bigl(5e^{-x}\bigr) = \tfrac12\cdot2e^{2x} -5\cdot(-1)e^{-x} = e^{2x} + 5e^{-x},
que coincide com f(x). Portanto, está correto.

Resposta

\boxed{\,\int\bigl(e^{2x}+5e^{-x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 5e^{-x} + C\,}.

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