Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Coefira suas respostas por diferenciaçio.
\int\left(-3 \operatorname{cossec}^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(-3\,\csc^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas, em particular da função \csc^2 x.

Passo 2

Fatoramos a constante -3 para fora da integral:
\int\bigl(-3\,\csc^2 x\bigr)\,dx = -3 \int \csc^2 x \,dx.
Aqui usamos que o fator constante pode sair da integral.

Passo 3

Sabemos que
\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C.
Substituindo na expressão fatorada:
-3 \int \csc^2 x \,dx = -3\bigl(-\cot x + C\bigr) = 3\cot x + C.

Passo 4

Verificação por diferenciação:
\frac{d}{dx}\bigl(3\cot x + C\bigr) = 3\cdot\frac{d}{dx}(\cot x) = 3\cdot(-\csc^2 x) = -3\,\csc^2 x,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

A primitiva mais geral é
3\cot x + C.

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