DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[\frac{1}{4} x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{5}}+3 x^{\frac{1}{4}}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar uma primitiva (uma antiderivada) da função dada e verificar a primitiva derivando-a. A integral é
\int\left[\frac{1}{4}x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{5}}+3x^{\frac{1}{4}}\right]dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é a soma de três termos: \frac{1}{4}x^{\frac{2}{3}}, -x^{-\frac{1}{5}} e 3x^{\frac{1}{4}}.
  • O que se pede é uma primitiva F(x) tal que F'(x) seja o integrando, e em seguida verificar que F'(x) realmente retorna o integrando.
  • Observação sobre domínio (importante para raízes fracionárias): o termo x^{\frac{1}{4}} exige normalmente x\ge 0 para ficar no conjunto dos reais com a definição usual de raiz quarta; já x^{\frac{2}{3}} e x^{-\frac{1}{5}} são bem definidos para todo x\in\mathbb{R} via raiz cúbica. Para trabalhar com primitiva real sem complicar sinais, vou considerar o domínio x>0 (padrão em muitas provas quando aparecem potências racionais com denominador par).

Passo 2

Regra que vamos usar (regra da potência para integrais): se a\neq -1 então
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C.
Aqui a é o expoente de x. Também usamos a propriedade da linearidade da integral:
\int\big(k\cdot f(x)\big)\,dx = k\int f(x)\,dx \qquad\text{e}\qquad \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx,
onde k é constante. Aplicaremos isso termo a termo ao integrando.

Passo 3

Integro o primeiro termo \dfrac{1}{4}x^{\frac{2}{3}}.
Aqui a=\dfrac{2}{3}. Pelo comando da potência:
\int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}=\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{4}:
\int \frac{1}{4}x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}\,x^{\frac{5}{3}} =\frac{3}{20}\,x^{\frac{5}{3}}.

Passo 4

Integro o segundo termo -x^{-\frac{1}{5}}.
Aqui a=-\dfrac{1}{5}. Como a\neq-1, aplico a regra:
\int x^{-\frac{1}{5}}dx=\frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\frac{1}{5}+1}=\frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}.
Com o sinal negativo:
\int -x^{-\frac{1}{5}}dx=-\frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}=-\frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}}.

Passo 5

Integro o terceiro termo 3x^{\frac{1}{4}}.
Aqui a=\dfrac{1}{4}. Pela regra:
\int x^{\frac{1}{4}}dx=\frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}.
Multiplicando pelo fator 3:
\int 3x^{\frac{1}{4}}dx=3\cdot\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}=3\cdot\frac{4}{5}\,x^{\frac{5}{4}}=\frac{12}{5}\,x^{\frac{5}{4}}.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores e adicionando a constante de integração C, uma primitiva é
F(x)=\frac{3}{20}\,x^{\frac{5}{3}}-\frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}}+\frac{12}{5}\,x^{\frac{5}{4}}+C.

Passo 7

Verificação: derivar F(x) e mostrar que retorna o integrando.
Derivando termo a termo (regra da potência para derivadas: \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}):
  1. Para \dfrac{3}{20}x^{\frac{5}{3}}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{20}x^{\frac{5}{3}}\right)=\frac{3}{20}\cdot\frac{5}{3}\,x^{\frac{5}{3}-1} =\frac{1}{4}\,x^{\frac{2}{3}}.
  1. Para -\dfrac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}\right)=-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{5}\,x^{\frac{4}{5}-1} =-x^{-\frac{1}{5}}.
  1. Para \dfrac{12}{5}x^{\frac{5}{4}}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}}\right)=\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{4}\,x^{\frac{5}{4}-1} =3x^{\frac{1}{4}}.
Somando as derivadas dos três termos obtemos exatamente
\frac{1}{4}x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{5}}+3x^{\frac{1}{4}},
que é o integrando. Logo a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{3}{20}\,x^{\frac{5}{3}}-\frac{5}{4}\,x^{\frac{4}{5}}+\frac{12}{5}\,x^{\frac{5}{4}}+C

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