DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar uma primitiva (uma antiderivada) da função dada e verificar a primitiva derivando-a. A integral é
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é a soma de três termos:
, e . - O que se pede é uma primitiva
tal que seja o integrando, e em seguida verificar que realmente retorna o integrando. - Observação sobre domínio (importante para raízes fracionárias): o termo
exige normalmente para ficar no conjunto dos reais com a definição usual de raiz quarta; já e são bem definidos para todo via raiz cúbica. Para trabalhar com primitiva real sem complicar sinais, vou considerar o domínio (padrão em muitas provas quando aparecem potências racionais com denominador par).
Passo 2
Regra que vamos usar (regra da potência para integrais): se
então
Aqui
é o expoente de
. Também usamos a propriedade da linearidade da integral:
onde
é constante. Aplicaremos isso termo a termo ao integrando.
Passo 3
Integro o primeiro termo
.
Aqui
. Pelo comando da potência:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 4
Integro o segundo termo
.
Aqui
. Como
, aplico a regra:
Com o sinal negativo:
Passo 5
Integro o terceiro termo
.
Aqui
. Pela regra:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores e adicionando a constante de integração
, uma primitiva é
Passo 7
Verificação: derivar
e mostrar que retorna o integrando.
Derivando termo a termo (regra da potência para derivadas:
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando as derivadas dos três termos obtemos exatamente
que é o integrando. Logo a primitiva encontrada está correta.