Determine as primitivas para as funções:
f(x)=11+x^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente “determinar as primitivas” da função
f(x) = 11 + x^2
Isso é um exercício de integração (ou antiderivação) de funções racionais. Para resolver, a gente precisa lembrar o que é uma primitiva (ou antiderivada) e também a derivada da função arco-tangente, porque ela é a chave aqui.

Passo 2

Antes de mais nada, uma primitiva F'(x) = 11 + x^2 de ddxl(arctan(x)r) = 11 + x^2 é uma função cuja derivada é exatamente . Em outras palavras, estamos buscando tal que
Na teoria de derivadas, já se mostra que
Isso significa que a arco-tangente é justamente uma função cuja derivada gera nosso .

Passo 3

Como a derivada de F(x) = arctan(x) é , concluímos imediatamente que uma primitiva de é
Só que, quando trabalhamos com primitivas, sempre rola uma “constante de integração” , porque a derivada de qualquer constante é zero e não altera .

Resposta

integral 11 + x^2,dx = arctan(x) + C

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