• Calcule as integrais definidas:
    \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos x.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e \dfrac{\pi}{4} (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos lembrar a primitiva (antiderivada) da função \cos x. Por definição, uma primitiva F(x) de f(x) satisfaz F'(x)=f(x).
Uma primitiva conhecida é
\int \cos x \, dx = \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Justificando brevemente por que \sin x é primitiva de \cos x: a derivada da função \sin x é \cos x, isto é,
\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
Portanto \sin x é uma função cuja derivada é \cos x, logo é uma primitiva.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva contínua de f em um intervalo que contém a e b, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso f(x)=\cos x e F(x)=\sin x. Assim
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0).

Passo 5

Agora calculamos os valores das funções trigonométricas nos limites:
  • \sin(0)=0.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) corresponde ao seno de 45^\circ, cujo valor conhecido no círculo unitário é
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão do Passo 4:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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