Determine as primitivas indicadas:
\int 7 \cdot \operatorname{sen} 7 x d x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dão. O enunciado pede para determinar a primitiva (ou integral indefinida) da função
\int 7\cdot \operatorname{sen}7x\,dx.
Informações relevantes:
  • O número 7 multiplicando a função é uma constante.
  • A função a integrar é \operatorname{sen}7x (ou seja, \sin(7x) em notação usual).
  • Queremos uma primitiva, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=7\sin(7x). Vamos incluir a constante de integração C no final.

Passo 2

Regra útil: fator constante pode sair da integral. Isso vem da linearidade da integral — se a é constante então
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int 7\cdot \operatorname{sen}7x\,dx = 7\int \operatorname{sen}7x\,dx.

Passo 3

Método prático: usar substituição. Defina a nova variável
u = 7x.
Diferenciando, obtemos
du = 7\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{7}.
Substituindo em 7\int \operatorname{sen}7x\,dx:
7\int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{7}.
Os fatores 7 se cancelam, ficando
7\int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{7}=\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Integral básica: sabemos que a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u). Portanto a primitiva de \operatorname{sen}(u) é
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Explicação curta: como \dfrac{d}{du}\cos(u)=-\operatorname{sen}(u), então \dfrac{d}{du}[-\cos(u)]=\operatorname{sen}(u).

Passo 5

Voltar para a variável original x (substituição inversa u=7x):
\int 7\cdot \operatorname{sen}7x\,dx = -\cos(u)+C = -\cos(7x)+C.
Observação alternativa (sem substituir): usar a fórmula direta \int \sin(ax)\,dx = -\dfrac{\cos(ax)}{a}+C. Aqui teríamos 7\int \sin(7x)\,dx = 7\cdot\left(-\dfrac{\cos(7x)}{7}\right)+C = -\cos(7x)+C, mesmo resultado.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (confere na prova): calcular a derivada de -\cos(7x)+C.
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(7x)+C\bigr) = -\bigl(-\sin(7x)\cdot 7\bigr) = 7\sin(7x),
que é exatamente a função que queríamos integrar. Está correto!

Resposta

-\cos(7x)+C

Exercícios relacionados