Determine as primitivas indicadas:
\int(x+1)^{17} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva (antiderivada) da função \, (x+1)^{17}\,. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x)=(x+1)^{17}.
Informações dadas:
  • A integranda é \,(x+1)^{17}\,.
  • Queremos \displaystyle \int (x+1)^{17}\,dx.

Passo 2

Vou lembrar a regra básica que vou usar (regra do poder para integrais).
Seja n um número real diferente de -1. Então vale
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde u é a variável de integração e C é a constante de integração. Observação importante: o caso n=-1 \int u^{-1}\,du=\ln|u|+C, mas aqui n=17\neq-1, então podemos aplicar a fórmula do poder.

Passo 3

A integranda tem a forma (x+1)^{17}. Para aplicar a fórmula de forma direta, faço a substituição simples
u=x+1.
Derivando ambos os lados, obtemos
du=dx.
Portanto a integral troca de variável sem complicação:
\int (x+1)^{17}\,dx=\int u^{17}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra do poder com n=17:
\int u^{17}\,du=\frac{u^{18}}{18}+C,
porque 17+1=18 e dividimos por esse novo expoente.

Passo 5

Volto para a variável original substituindo u=x+1:
\frac{u^{18}}{18}+C=\frac{(x+1)^{18}}{18}+C.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar confiante): derivando \dfrac{(x+1)^{18}}{18} pelo teorema da cadeia obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{(x+1)^{18}}{18}\right)=\frac{18}{18}(x+1)^{17}=(x+1)^{17},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{(x+1)^{18}}{18}+C

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