Determine as primitivas indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma primitiva (antiderivada) da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
Informações dadas:
- A integranda é
. - Queremos
.
Passo 2
Vou lembrar a regra básica que vou usar (regra do poder para integrais).
Seja um número real diferente de
. Então vale
Seja
onde
é a variável de integração e
é a constante de integração. Observação importante: o caso
dá
, mas aqui
, então podemos aplicar a fórmula do poder.
Passo 3
A integranda tem a forma
. Para aplicar a fórmula de forma direta, faço a substituição simples
Derivando ambos os lados, obtemos
Portanto a integral troca de variável sem complicação:
Passo 4
Agora aplico a regra do poder com
:
porque
e dividimos por esse novo expoente.
Passo 5
Volto para a variável original substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (para ficar confiante): derivando
pelo teorema da cadeia obtém-se
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.