Calcule:
\int(2 x-3) \cdot e^{1-3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int(2x-3)\,e^{1-3x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de um polinômio linear (2x-3) e uma exponencial e^{1-3x}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Por que escolher substituição? Aqui o expoente da exponencial é uma função afim de x, isto é (1-3x). Quando a derivada do expoente aparece (ou aparece quase) multiplicando a exponencial, a substituição u= (expoente) costuma simplificar muito. Por isso escolhemos a substituição
u = 1 - 3x.
Isso transforma a exponencial em e^{u} e nos permite reduzir a integral a algo mais simples. Explicando a técnica: na substituição, deve-se substituir toda a variável x e dx por expressões em u, para obter uma integral em u.

Passo 3

Faço a substituição e calculo as diferenciais:
u = 1 - 3x \quad\Rightarrow\quad du = -3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{1}{3}\,du.
Também expresso x em função de u (porque o fator 2x-3 contém x):
x = \frac{1-u}{3}.

Passo 4

Substituo x e dx na integral. Primeiro calculo 2x-3 em termos de u:
2x-3 = 2\cdot\frac{1-u}{3}-3 = \frac{2-2u}{3}-\frac{9}{3} = \frac{2-2u-9}{3} = \frac{-7-2u}{3}.
Agora substituo tudo na integral:
\int (2x-3)\,e^{1-3x}\,dx = \int \frac{-7-2u}{3}\,e^{u}\left(-\frac{1}{3}\,du\right).
Multiplicando os sinais e constantes:
\frac{-7-2u}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{7+2u}{9},
portanto a integral vira
\int \frac{7+2u}{9}\,e^{u}\,du = \frac{1}{9}\int (7+2u)\,e^{u}\,du.

Passo 5

Separe a integral em duas partes:
\frac{1}{9}\int (7+2u)e^{u}\,du = \frac{1}{9}\left(7\int e^{u}\,du + 2\int u e^{u}\,du\right).
A primeira integral é direta:
\int e^{u}\,du = e^{u}.
A segunda usa integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int v'(x)w(x)\,dx = v(x)w(x) - \int v(x)w'(x)\,dx,
ou na forma usual para escolher a e db:
\int a\,db = a b - \int b\,da.
Escolho a = u e db = e^{u}\,du. Então da = du e b = e^{u}. Aplicando:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} = e^{u}(u-1).

Passo 6

Substituo os resultados na expressão:
\frac{1}{9}\left(7 e^{u} + 2 \cdot e^{u}(u-1)\right) = \frac{1}{9}e^{u}\left(7 + 2u - 2\right) = \frac{1}{9}e^{u}\left(5 + 2u\right).
Agora volto para a variável x com u=1-3x:
\frac{1}{9}e^{1-3x}\left(5 + 2(1-3x)\right) = \frac{1}{9}e^{1-3x}\left(5 + 2 - 6x\right) = \frac{1}{9}e^{1-3x}\left(7 - 6x\right).
Logo uma primitiva é
\frac{1}{9}(7-6x)\,e^{1-3x} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva para confirmar que volta ao integrando.
Derivando \frac{1}{9}(7-6x)e^{1-3x} usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{9}(7-6x)e^{1-3x}\right] = \frac{1}{9}\Big((-6)e^{1-3x} + (7-6x)e^{1-3x}(-3)\Big) = \frac{1}{9}e^{1-3x}\big(-6 -21 +18x\big)
= \frac{1}{9}e^{1-3x}(18x-27) = e^{1-3x}\frac{9(2x-3)}{9} = (2x-3)e^{1-3x},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{9}(7-6x)\,e^{1-3x}+C

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