Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de um polinômio linear
e uma exponencial . - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Por que escolher substituição? Aqui o expoente da exponencial é uma função afim de
, isto é
. Quando a derivada do expoente aparece (ou aparece quase) multiplicando a exponencial, a substituição
(expoente) costuma simplificar muito. Por isso escolhemos a substituição
Isso transforma a exponencial em
e nos permite reduzir a integral a algo mais simples. Explicando a técnica: na substituição, deve-se substituir toda a variável
e
por expressões em
, para obter uma integral em
.
Passo 3
Faço a substituição e calculo as diferenciais:
Também expresso
em função de
(porque o fator
contém
):
Passo 4
Substituo
e
na integral. Primeiro calculo
em termos de
:
Agora substituo tudo na integral:
Multiplicando os sinais e constantes:
portanto a integral vira
Passo 5
Separe a integral em duas partes:
A primeira integral é direta:
A segunda usa integração por partes. Lembrando a fórmula de integração por partes:
ou na forma usual para escolher
e
:
Escolho
e
. Então
e
. Aplicando:
Passo 6
Substituo os resultados na expressão:
Agora volto para a variável
com
:
Logo uma primitiva é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva para confirmar que volta ao integrando.
Derivando usando a regra do produto:
Derivando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.