Calcule:
\begin{aligned} & \int \frac{1}{x^{2}-4} d x \\\ & \int \frac{x}{x^{2}-4} d x \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para calcular duas integrais indefinidas:
    1. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx
    2. \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx
  • Informação importante: o denominador x^{2}-4 se anula em x=2 e x=-2, portanto as primitivas valem em intervalos que não contenham esses pontos (por isso aparecerão valores absolutos nos logaritmos).
  • Não é necessário nenhum outro dado; vamos proceder com métodos usuais: decomposição em frações parciais para a primeira e substituição para a segunda.

Passo 2

Resolver \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx por frações parciais.
  • Primeiro fatoramos o denominador: x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  • Procuramos constantes A e B tais que \frac{1}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
  • Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2) obtemos a identidade 1 = A(x+2)+B(x-2).Essa igualdade vale para todo x. Para encontrar A e B podemos escolher valores convenientes de x:
    • Para x=2: 1 = A(4)\Rightarrow A=\dfrac{1}{4}.
    • Para x=-2: 1 = B(-4)\Rightarrow B=-\dfrac{1}{4}.
  • Assim \frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.

Passo 3

Integrar a expressão obtida no Passo 2.
  • Usamos a integral básica \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Explico rapidinho: a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}, por isso essa fórmula funciona (atenção ao valor absoluto para respeitar o sinal dentro do logaritmo).
  • Aplicando termo a termo: \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{x-2}\,dx - \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+2}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C.
  • Podemos combinar os logaritmos, se quiser: \frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C.(Lembre-se: C representa uma constante arbitrária.)

Passo 4

Resolver \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx por substituição simples.
  • Uma substituição natural é \displaystyle u = x^{2}-4. Então du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
  • Substituindo na integral original: \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
  • Integrando \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C, obtemos \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln|x^{2}-4| + C.
  • Verificação rápida (útil na prova): derivando \dfrac{1}{2}\ln|x^{2}-4| obtém-se \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x}{x^{2}-4}=\dfrac{x}{x^{2}-4}, consistente.

Passo 5

Observações didáticas finais e dicas para a prova:
  • Para integrais racionais com denominador quadrático fatorável em linhas, tente frações parciais quando o numerador tem grau menor que o denominador; isso separa a integral em partes do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx.
  • Para integrais onde o numerador é proporcional à derivada do denominador (como x e x^{2}-4), a substituição u= denominador é a via mais curta.
  • Sempre coloque valor absoluto dentro do logaritmo \ln|\cdot| quando integrar 1/(\text{expressão})ã, porque a expressão pode ser negativa em partes do domínio.
  • Lembre-se de mencionar que x\neq\pm2 se for necessário falar do domínio da primitiva.

Resposta

\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C
\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x^{2}-4| + C

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