\begin{aligned} & \int \frac{1}{x^{2}-4} d x \\\ & \int \frac{x}{x^{2}-4} d x \end{aligned}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pedem para calcular duas integrais indefinidas:
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx
\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx
Informação importante: o denominador x^{2}-4 se anula em x=2 e x=-2, portanto as primitivas valem em intervalos que não contenham esses pontos (por isso aparecerão valores absolutos nos logaritmos).
Não é necessário nenhum outro dado; vamos proceder com métodos usuais: decomposição em frações parciais para a primeira e substituição para a segunda.
Passo 2
Resolver \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx por frações parciais.
Primeiro fatoramos o denominador:x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Procuramos constantes A e B tais que\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2) obtemos a identidade1 = A(x+2)+B(x-2).Essa igualdade vale para todo x. Para encontrar A e B podemos escolher valores convenientes de x:
Usamos a integral básica \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Explico rapidinho: a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}, por isso essa fórmula funciona (atenção ao valor absoluto para respeitar o sinal dentro do logaritmo).
Aplicando termo a termo:\int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{x-2}\,dx - \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+2}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C.
Podemos combinar os logaritmos, se quiser:\frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C.(Lembre-se: C representa uma constante arbitrária.)
Passo 4
Resolver \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx por substituição simples.
Uma substituição natural é \displaystyle u = x^{2}-4. Entãodu = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original:\int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
Integrando \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C, obtemos\int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln|x^{2}-4| + C.
Observações didáticas finais e dicas para a prova:
Para integrais racionais com denominador quadrático fatorável em linhas, tente frações parciais quando o numerador tem grau menor que o denominador; isso separa a integral em partes do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx.
Para integrais onde o numerador é proporcional à derivada do denominador (como x e x^{2}-4), a substituição u= denominador é a via mais curta.
Sempre coloque valor absoluto dentro do logaritmo \ln|\cdot| quando integrar 1/(\text{expressão})ã, porque a expressão pode ser negativa em partes do domínio.
Lembre-se de mencionar que x\neq\pm2 se for necessário falar do domínio da primitiva.
Resposta
\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C
\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x^{2}-4| + C