Determine a probabilidade de um divisor positivo de 10^99 ser um múltiplo de 10^88.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um divisor positivo de 10^99 ser múltiplo de 10^88.
Conteúdo: contagem de divisores de um número na forma de potência de primos e probabilidade clássica (casos favoráveis sobre casos possíveis).

Passo 2

Como
10^99 = 2^99cdot5^99,
qualquer divisor de 10^99 é da forma 2^a5^b com 0<= a<=99 e 0<= b<=99.
Logo, o número total de divisores é
(99 - 0 + 1)times(99 - 0 + 1) = 100 times 100 = 10000

Passo 3

Para que 2^a5^b seja múltiplo de 10^88=2^885^88 é preciso ter a>=88 e b>=88.
O número de escolhas possíveis para a é 99-88+1=12 e o mesmo para b.
Assim, o total de divisores que satisfazem a condição é
12 times 12 = 144

Passo 4

A probabilidade pedida é
casos favoráveiscasos totais = 14410000 = 9625 = 0,0144 á

Resposta

9625

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