Mostrar que se p e 8 p-1 são ambos números primos, então 8 p+1 não é um número primo.

Passo 1

O enunciado diz que p e 8p-1 são primos e pede para mostrar que
N = 8p + 1
não pode ser primo. Vamos usar aritmética modular (congruências) para descobrir um divisor não-trivial de N.

Passo 2

Examinamos 8p-1 módulo 3. Se pequiv 2pmod3, então
8p-1 equiv 8cdot2 - 1 = 16 - 1 = 15 equiv 0 pmod3,
logo 8p-1 seria divisível por 3 e, sendo maior que 3, não poderia ser primo. Isso contradiz a hipótese. Portanto
p notequiv 2 pmod3

Passo 3

As únicas outras possibilidades para p módulo 3 são pequiv 0pmod3 ou pequiv 1pmod3.
  • Se p=3, então N = 8cdot3 + 1 = 25 = 5 times 5, que é composto.
  • Se pequiv 1pmod3, então 8p + 1 equiv 8cdot1 + 1 = 9 equiv 0 pmod3 Como 8p+1>3, isso mostra que 3 é um divisor não-trivial de N, logo N é composto.

Resposta

Mostramos que em todos os casos 8p+1 é divisível por um número menor que ele próprio (ou por 3 quando pequiv1pmod3, ou vale 25 quando p=3). Portanto 8p+1 não é primo.

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