Seja n in N. Mostrar que o conjunto dos números primos da forma 6 n+5 é infinito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que há infinitos números primos congruentes a 5 módulo 6, ou seja, da forma 6n+5. O que vamos usar é um argumento à la Euclides: supomos que haja apenas finitamente muitos desses primos, construímos um número novo que não é divisível por nenhum deles e então extraímos dele um primo da forma 6n+5, contradizendo a hipótese. Para isso precisamos do fato de que todo primo maior que 3 é congruente ou a 1 ou a 5 módulo 6.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existam apenas k primos da forma 6n+5, digamos
p1,p2,dots,pk,
todos satisfazendo piequiv5pmod6. Considere o produto
P ;=; prodi=1^k pi

Passo 3

Definimos o número
N ;=; 6P ;-; 1
Observe que, para cada i,
N equiv -1 pmodpi,
logo nenhum pi divide N. Além disso,
N equiv -1 pmod6;Longrightarrow;Nequiv5pmod6,
o que impede divisibilidade por 2 ou 3. Como N>1, ele tem ao menos um divisor primo q.

Passo 4

Esse primo q não pode ser 2 nem 3, logo q>3 e vale
qequivpm1pmod6
Mas como Nequiv5pmod6, se todos os fatores primos de N fossem congruentes a 1 módulo 6, seu produto ficaria equiv1pmod6, contradizendo Nequiv5pmod6. Logo existe pelo menos um divisor primo q tal que
qequiv5pmod6

Passo 5

Esse primo q é da forma 6n+5 e não está na lista p1,dots,pk. Obtivemos, assim, um novo primo da forma 6n+5, contrariando a hipótese de que havia apenas k tais primos.

Resposta

Portanto, existem infinitamente muitos números primos da forma 6n+5.

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