Seja
. Mostrar que o conjunto dos números primos da forma
é infinito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que há infinitos números primos congruentes a
módulo
, ou seja, da forma
. O que vamos usar é um argumento à la Euclides: supomos que haja apenas finitamente muitos desses primos, construímos um número novo que não é divisível por nenhum deles e então extraímos dele um primo da forma
, contradizendo a hipótese. Para isso precisamos do fato de que todo primo maior que
é congruente ou a
ou a
módulo
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existam apenas
primos da forma
, digamos
todos satisfazendo
. Considere o produto
Passo 3
Definimos o número
Observe que, para cada
,
logo nenhum
divide
. Além disso,
o que impede divisibilidade por
ou
. Como
, ele tem ao menos um divisor primo
.
Passo 4
Esse primo
não pode ser
nem
, logo
e vale
Mas como
, se todos os fatores primos de
fossem congruentes a
módulo
, seu produto ficaria
, contradizendo
. Logo existe pelo menos um divisor primo
tal que
Passo 5
Esse primo
é da forma
e não está na lista
. Obtivemos, assim, um novo primo da forma
, contrariando a hipótese de que havia apenas
tais primos.
Resposta
Portanto, existem infinitamente muitos números primos da forma
.