Determine a soma de todos os divisores positivos de 10.000.

Passo 1

O enunciado pede a soma de todos os divisores positivos de 10,000. O conteúdo aqui é função soma de divisores sigma(n), que se calcula a partir da fatoração prima de n e da fórmula
sigmal(p^ar)=p^a+1-1p-1

Passo 2

Primeiro fatoramos 10,000. Como 10,000 = 10^4 e 10 = 2cdot5, temos
10,000 = (2cdot5)^4 = 2^4 cdot 5^4

Passo 3

Para um número n = prod pi^ai, a soma de todos os divisores positivos é
sigma(n) ;=;prodi pi^ai+1-1pi-1
Aqui os primos são 2 e 5, ambos com expoente 4.

Passo 4

Calculamos cada fator:
sigmal(2^4r) = 2^4+1-12-1 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31,
sigmal(5^4r) = 5^4+1-15-1 = 5^5 - 14 = 3125 - 14 = 31244 = 781

Passo 5

A soma total é o produto desses fatores:
sigma(10,000) = 31 times 781 = 31 times (780 + 1) = 31 times 780 + 31 = 24,180 + 31 = 24,211

Resposta

A soma de todos os divisores positivos de 10,000 é 24,211.

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