Determine a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron se o estado estiver acima do nível de Fermi por:
b. 5 k T
Use a distribuição de Fermi-Dirac: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron quando o estado está acima do nível de Fermi por 5\,kT.
  • Fórmula fornecida: f(E)=\dfrac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}.
  • Informação útil (tirada do enunciado): E-E_{F}=5\,kT.

Passo 2

Substituir \,E-E_{F}=5\,kT na distribuição de Fermi–Dirac. Isso dá:
f(E)=\frac{1}{1+e^{(E-E_F)/kT}}=\frac{1}{1+e^{5}}.
Explicando a fórmula: \,f(E) é a probabilidade de ocupação do nível de energia E. O denominador 1+e^{(E-E_F)/kT} cresce rapidamente quando E está acima de E_F, reduzindo f(E). A constante k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta.

Passo 3

Calcular numericamente e^{5}. Usando valores conhecidos:
e\approx 2{,}7182818,\qquad e^{2}\approx 7{,}389056,\qquad e^{3}\approx 20{,}085537.
Uma forma prática é usar e^{5}=e^{2}\cdot e^{3}:
e^{5}\approx 7{,}389056\times 20{,}085537\approx 148{,}413159.

Passo 4

Agora calcular f(E) com esse número:
f(E)=\frac{1}{1+e^{5}}=\frac{1}{1+148{,}413159}=\frac{1}{149{,}413159}\approx 0{,}0066959.
Arredondando para três casas significativas:
f(E)\approx 0{,}0067.

Passo 5

Interpretação e aproximação útil: quando (E-E_F)\gg kT (aqui é 5\,kT), pode-se aproximar
f(E)\approx e^{-(E-E_F)/kT}.
No caso (E-E_F)=5\,kT isso dá f(E)\approx e^{-5}\approx 0{,}0067379, muito próximo do valor exato calculado. Em percentuais:
f(E)\approx 0{,}67\%.
Físicamente: a probabilidade é pequena (menos de 1%), ou seja, níveis muito acima do nível de Fermi têm baixa ocupação por elétrons à temperatura T.

Resposta

\displaystyle f(E)=\frac{1}{1+e^{5}}\approx 0{,}0067

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