Seis elétrons livres existem em um poço de potencial infinito unidimensional de largura a=12 \AA. Determine o nível de energia de Fermi em T=0 \mathrm{~K}.
Equação: E_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m_{e} a^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Existem 6 elétrons livres num poço de potencial infinito unidimensional de largura a=12\\ \text{\AA}.
  • A temperatura é T=0\\ \text{K}.
  • A fórmula para os níveis de energia é
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m_{e}a^{2}}.
O que o problema pede: determinar o nível de energia de Fermi em T=0\\ \text{K}, ou seja, a energia do nível mais alto ocupado quando os 6 elétrons estão no estado fundamental.

Passo 2

Entendendo como os elétrons ocupam os níveis (a parte conceitual que sempre cai na prova).
  • Cada nível quântico com índice n comporta dois elétrons devido ao spin (um com spin para cima e outro com spin para baixo), por causa do princípio de exclusão de Pauli.
  • Isso significa que o número máximo de elétrons preenchendo os níveis até o nível n é 2 por nível.
  • Com 6 elétrons, temos ocupação: níveis n=1,2,3 ficam todos preenchidos (cada um com 2 elétrons), porque 2\times3=6.
  • Portanto o nível mais alto ocupado é n_{\text{F}}=3. A energia de Fermi em T=0\\ \text{K} é a energia desse nível: E_{F}=E_{3}.

Passo 3

Escrevendo a energia do nível n=3 a partir da fórmula dada:
E_{3}=\frac{3^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m_{e}a^{2}}=\frac{9\pi^{2}\hbar^{2}}{2m_{e}a^{2}}.
Aqui explico cada símbolo para ficar bem claro:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (unidade: \text{J}\cdot\text{s}).
  • m_{e} é a massa do elétron (unidade: \text{kg}).
  • a é a largura do poço (unidade: \text{m}).
  • E_{3} ficará em joules se usarmos unidades SI.

Passo 4

Substituindo valores numéricos (tudo em SI). Primeiro converter a largura:
a=12\\ \text{\AA}=1{,}2\times10^{-9}\\ \text{m}.
Constantes que usaremos:
\hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s},\qquad m_{e}=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}.
Agora calcular passo a passo. Primeiro \hbar^{2}:
\hbar^{2}=(1{,}054571817\times10^{-34})^{2}=1{,}112121\times10^{-68}\\ \text{J}^{2}\cdot\text{s}^{2}.
Calcular \pi^{2}:
\pi^{2}=9{,}8696044.
Numerador:
9\pi^{2}\hbar^{2}=9\times9{,}8696044\times1{,}112121\times10^{-68}=9{,}8786\times10^{-67}.
Denominador (primeiro a^{2}, depois 2m_{e}a^{2}):
a^{2}=(1{,}2\times10^{-9})^{2}=1{,}44\times10^{-18}\\ \text{m}^{2},
2m_{e}a^{2}=2\times9{,}10938356\times10^{-31}\times1{,}44\times10^{-18}=2{,}62350\times10^{-48}.

Passo 5

Dividindo numerador por denominador para obter E_{3}:
E_{3}=\frac{9{,}8786\times10^{-67}}{2{,}62350\times10^{-48}}=3{,}77\times10^{-19}\\ \text{J}.
É comum expressar energia em eletronvolt (eV). Para converter, usamos 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{J}. Assim
E_{3}=\frac{3{,}77\times10^{-19}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \text{eV}=2{,}35\\ \text{eV}.

Passo 6

Resumo físico rápido (motivação de prova): com 6 elétrons e degeneração por spin 2, preenche-se até n=3; a energia de Fermi a T=0\\ \text{K} é simplesmente E_{3}, que calculamos acima. Dá uma energia da ordem de poucos eV, compatível com escala eletrônica em poços finitos.

Resposta

E_{F}=3{,}77\times10^{-19}\\ \text{J}
E_{F}=2{,}35\\ \text{eV}

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