Seis elétrons livres existem em um poço de potencial infinito unidimensional de largura
. Determine o nível de energia de Fermi em
.
Equação:
.
Equação:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Existem
elétrons livres num poço de potencial infinito unidimensional de largura . - A temperatura é
. - A fórmula para os níveis de energia é
O que o problema pede: determinar o nível de energia de Fermi em
, ou seja, a energia do nível mais alto ocupado quando os
elétrons estão no estado fundamental.
Passo 2
Entendendo como os elétrons ocupam os níveis (a parte conceitual que sempre cai na prova).
- Cada nível quântico com índice
comporta dois elétrons devido ao spin (um com spin para cima e outro com spin para baixo), por causa do princípio de exclusão de Pauli. - Isso significa que o número máximo de elétrons preenchendo os níveis até o nível
é por nível. - Com
elétrons, temos ocupação: níveis ficam todos preenchidos (cada um com 2 elétrons), porque . - Portanto o nível mais alto ocupado é
. A energia de Fermi em é a energia desse nível: .
Passo 3
Escrevendo a energia do nível
a partir da fórmula dada:
Aqui explico cada símbolo para ficar bem claro:
-
é a constante de Planck reduzida (unidade: ). -
é a massa do elétron (unidade: ). -
é a largura do poço (unidade: ). -
ficará em joules se usarmos unidades SI.
Passo 4
Substituindo valores numéricos (tudo em SI). Primeiro converter a largura:
Constantes que usaremos:
Agora calcular passo a passo. Primeiro
:
Calcular
:
Numerador:
Denominador (primeiro
, depois
):
Passo 5
Dividindo numerador por denominador para obter
:
É comum expressar energia em eletronvolt (eV). Para converter, usamos
. Assim
Passo 6
Resumo físico rápido (motivação de prova): com
elétrons e degeneração por spin
, preenche-se até
; a energia de Fermi a
é simplesmente
, que calculamos acima. Dá uma energia da ordem de poucos eV, compatível com escala eletrônica em poços finitos.