A incerteza na posição de um elétron é não maior que 1,5 \AA. Determine a incerteza mínima em seu momento.

Passo 1

O enunciado dá a incerteza na posição do elétron e pede a incerteza mínima no momento. Informações e pedido, claramente:
  • Dado: a incerteza na posição não é maior que 1{,}5\\ \text{\AA}. Ou seja, \Delta x \le 1{,}5\\ \text{\AA}.
  • Pedido: determinar a incerteza mínima em seu momento, \Delta p_{\min}.

Passo 2

Qual fórmula usar? Aqui entra o princípio da incerteza de Heisenberg, que relaciona as incertezas de posição e momento:
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta x é a incerteza (desvio típico) na posição, medida em metros.
  • \Delta p é a incerteza no momento linear, medida em \text{kg}\cdot\text{m/s}.
  • \hbar (lê-se “h barra”) é a constante de Planck reduzida, definida por \hbar=\dfrac{h}{2\pi}, com valor numérico aproximado \hbar \approx 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \text{J·s}.
O enunciado diz que \Delta x não é maior que 1{,}5\\ \text{\AA}. Para encontrar a menor possível \Delta p compatível com a desigualdade, escolhemos o maior valor permitido para \Delta x, isto é \Delta x=1{,}5\\ \text{\AA}. Assim obtemos a menor \Delta p que ainda satisfaz a desigualdade:
\Delta p_{\min}=\frac{\hbar}{2\,\Delta x}\quad\text{com}\quad \Delta x=1{,}5\\ \text{\AA}.

Passo 3

Converter unidades para o SI e preparar a conta.
  • 1\\ \text{\AA}=1\times10^{-10}\\ \text{m}, logo
\Delta x = 1{,}5\\ \text{\AA} = 1{,}5\times10^{-10}\\ \text{m}.
  • Calcular 2\Delta x:
2\Delta x = 2\cdot(1{,}5\times10^{-10}) = 3{,}0\times10^{-10}\\ \text{m}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e fazer a divisão passo a passo.
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{3{,}0\times10^{-10}}.
Fazendo a divisão:
\Delta p_{\min} = \left(\frac{1{,}054571817}{3{,}0}\right)\times10^{-24} = 0{,}351523939\times10^{-24}.
Reescrevendo com potência padrão:
\Delta p_{\min} = 3{,}51523939\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos) para apresentação prática:
\Delta p_{\min} \approx 3{,}52\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Para dar uma intuição física rápida: se for útil, essa incerteza de momento corresponde a uma incerteza de velocidade aproximadamente
\Delta v \approx \frac{\Delta p_{\min}}{m_e},
onde m_e é a massa do elétron m_e \approx 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}. Assim
\Delta v \approx \frac{3{,}515\times10^{-25}}{9{,}109\times10^{-31}}\approx 3{,}86\times10^{5}\\ \text{m/s},
ou seja, uma incerteza de velocidade da ordem de algumas centenas de milhares de metros por segundo — só para ter uma noção do tamanho do efeito.

Resposta

\Delta p_{\min} \approx 3{,}52\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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