Determine a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron se o estado estiver acima do nível de Fermi por:
c. 10 k T
Use a distribuição de Fermi-Dirac: f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right) / k T}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede a probabilidade de ocupação de um nível de energia quando esse nível está acima do nível de Fermi por 10\,kT.
  • A distribuição dada é a de Fermi–Dirac:
f(E)=\frac{1}{1+e^{\left(E-E_{F}\right)/kT}}.
  • Informação extra dada implicitamente: \;E-E_{F}=10\,kT.

Passo 2

Entendendo a fórmula (aulas rápidas):
  • f(E) é a probabilidade (entre 0 e 1) de que um nível com energia E esteja ocupado por um elétron.
  • E_F é a energia de Fermi (nível de referência).
  • k é a constante de Boltzmann (medida de energia por unidade de temperatura).
  • T é a temperatura absoluta.
  • Quando E=E_F tem-se f(E)=\dfrac{1}{2} (metade das ocupações em equilíbrio). Para níveis muito acima de E_F a probabilidade decai exponencialmente.

Passo 3

Substituindo \,E-E_F=10\,kT na fórmula:
f(E)=\frac{1}{1+e^{(E-E_F)/kT}}=\frac{1}{1+e^{10}}.
Agora vamos avaliar numericamente e^{10}. Um valor conhecido é
e^{10}\approx 22026,46579.
Portanto
f(E)=\frac{1}{1+22026,46579}=\frac{1}{22027,46579}\approx 0,0000453999.

Passo 4

Aproximação útil (explicação didática):
  • Quando \,E-E_F\gg kT (como aqui, 10\,kT), tem-se e^{(E-E_F)/kT}\gg 1, então
f(E)\approx e^{-(E-E_F)/kT}.
  • Aplicando aqui:
f(E)\approx e^{-10}\approx 0,0000453999.
Isto mostra que o valor exato \dfrac{1}{1+e^{10}} e a aproximação e^{-10} praticamente coincidem (diferença desprezível neste caso).

Passo 5

Interpretação física e dica prática:
  • A probabilidade é muito pequena: cerca de 4{,}54\times10^{-5}, ou seja, aproximadamente 1 em 22,000 níveis estará ocupado — um nível situado 10\,kT acima do nível de Fermi é praticamente vazio.
  • Regra prática para provas: para E-E_F\gtrsim 5\,kT já se pode usar a aproximação de Boltzmann f\approx e^{-(E-E_F)/kT} sem perdas significativas de precisão.

Resposta

\dfrac{1}{1+e^{10}}\approx 4{,}54\times10^{-5}

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