Determine a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron se o estado estiver acima do nível de Fermi por:
c.
Use a distribuição de Fermi-Dirac:
.
c.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede a probabilidade de ocupação de um nível de energia quando esse nível está acima do nível de Fermi por
. - A distribuição dada é a de Fermi–Dirac:
- Informação extra dada implicitamente:
.
Passo 2
Entendendo a fórmula (aulas rápidas):
-
é a probabilidade (entre e ) de que um nível com energia esteja ocupado por um elétron. -
é a energia de Fermi (nível de referência). -
é a constante de Boltzmann (medida de energia por unidade de temperatura). -
é a temperatura absoluta. - Quando
tem-se (metade das ocupações em equilíbrio). Para níveis muito acima de a probabilidade decai exponencialmente.
Passo 3
Substituindo
na fórmula:
Agora vamos avaliar numericamente
. Um valor conhecido é
Portanto
Passo 4
Aproximação útil (explicação didática):
- Quando
(como aqui, ), tem-se , então
- Aplicando aqui:
Isto mostra que o valor exato
e a aproximação
praticamente coincidem (diferença desprezível neste caso).
Passo 5
Interpretação física e dica prática:
- A probabilidade é muito pequena: cerca de
, ou seja, aproximadamente 1 em 22,000 níveis estará ocupado — um nível situado acima do nível de Fermi é praticamente vazio. - Regra prática para provas: para
já se pode usar a aproximação de Boltzmann sem perdas significativas de precisão.