Determine a probabilidade de ocorrência de três 6 em 5 jogadas de um dado honesto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a probabilidade de ocorrerem exatamente três resultados iguais a seis em cinco jogadas de um dado honesto.
Informações dadas e implicadas:
  • Número de jogadas: 5.
  • Evento de interesse: obter exatamente 3 faces com valor 6.
  • O dado é honesto, logo a probabilidade de obter 6 em uma jogada é \dfrac{1}{6} e a probabilidade de não obter 6 é \dfrac{5}{6}.
  • As jogadas são independentes (o resultado de uma não afeta as outras).

Passo 2

Escolha do método (por que usar esse método).
Para contar a probabilidade de um número fixo de sucessos em um número fixo de tentativas independentes com duas possibilidades por tentativa (sucesso ou fracasso) usa-se a distribuição binomial. Aqui “sucesso” = obter 6 numa jogada, “fracasso” = não obter 6. Portanto a fórmula binomial é a ferramenta natural e a mais simples para aplicar numa prova sem calculadora.

Passo 3

Fórmula binomial e explicação detalhada.
A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade de sucesso p em cada tentativa é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • n é o número total de tentativas (aqui n=5).
  • k é o número de sucessos desejados (aqui k=3).
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (aqui p=\dfrac{1}{6}).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras distintas os k sucessos podem ocorrer entre as n tentativas. A fórmula para o coeficiente binomial é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto dos inteiros de 1 até n.

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial \binom{5}{3}.
Usando a definição:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(3\cdot2\cdot1)(2\cdot1)}.
Cancelar fatores comuns:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Interpretação prática: há 10 formas de escolher quais 3 das 5 jogadas serão os seis.

Passo 5

Probabilidade de uma sequência específica com exatamente 3 seis e 2 não-seis.
Por independência, a probabilidade de, por exemplo, sequência (6,6,6,não-6,não-6) é
\left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}.
Isso vale para qualquer arranjo com exatamente 3 seis e 2 não-seis.

Passo 6

Juntar coeficiente combinatório com a probabilidade de uma sequência para obter a probabilidade final.
Aplicando a fórmula binomial com n=5, k=3 e p=\dfrac{1}{6}:
P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}.
Substituindo \binom{5}{3}=10:
P(X=3)=10\left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}.

Passo 7

Fazer as contas e simplificar a fração passo a passo sem calculadora.
Calcule potências de 6:
6^{5}=6^{3}\cdot6^{2}=216\cdot36=7776.
Calcule numerador das probabilidades:
10\cdot 1^{3}\cdot 5^{2}=10\cdot 25=250.
Portanto
P(X=3)=\dfrac{250}{7776}.
Simplificando por 2:
P(X=3)=\dfrac{125}{3888}.

Passo 8

Valor aproximado em decimal (útil para intuição).
Dividindo:
\dfrac{125}{3888}\approx 0,03215.
Então a probabilidade é cerca de 3{,}215\%.

Resposta

\dfrac{125}{3888} \approx 0,03215

Exercícios relacionados