Determine a probabilidade de ocorrência de três 6 em 5 jogadas de um dado honesto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a probabilidade de ocorrerem exatamente três resultados iguais a seis em cinco jogadas de um dado honesto.
Informações dadas e implicadas:
Informações dadas e implicadas:
- Número de jogadas:
. - Evento de interesse: obter exatamente
faces com valor . - O dado é honesto, logo a probabilidade de obter
em uma jogada é e a probabilidade de não obter é . - As jogadas são independentes (o resultado de uma não afeta as outras).
Passo 2
Escolha do método (por que usar esse método).
Para contar a probabilidade de um número fixo de sucessos em um número fixo de tentativas independentes com duas possibilidades por tentativa (sucesso ou fracasso) usa-se a distribuição binomial. Aqui “sucesso” = obter numa jogada, “fracasso” = não obter
. Portanto a fórmula binomial é a ferramenta natural e a mais simples para aplicar numa prova sem calculadora.
Para contar a probabilidade de um número fixo de sucessos em um número fixo de tentativas independentes com duas possibilidades por tentativa (sucesso ou fracasso) usa-se a distribuição binomial. Aqui “sucesso” = obter
Passo 3
Fórmula binomial e explicação detalhada.
A probabilidade de obter exatamente sucessos em
tentativas independentes com probabilidade de sucesso
em cada tentativa é
A probabilidade de obter exatamente
Explicando cada símbolo:
-
é o número total de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos desejados (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (aqui ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras distintas os sucessos podem ocorrer entre as tentativas. A fórmula para o coeficiente binomial é
onde
(fatorial) é o produto dos inteiros de
até
.
Passo 4
Calcular o coeficiente binomial
.
Usando a definição:
Usando a definição:
Cancelar fatores comuns:
Interpretação prática: há
formas de escolher quais
das
jogadas serão os seis.
Passo 5
Probabilidade de uma sequência específica com exatamente
seis e
não-seis.
Por independência, a probabilidade de, por exemplo, sequência (6,6,6,não-6,não-6) é
Por independência, a probabilidade de, por exemplo, sequência (6,6,6,não-6,não-6) é
Isso vale para qualquer arranjo com exatamente
seis e
não-seis.
Passo 6
Juntar coeficiente combinatório com a probabilidade de uma sequência para obter a probabilidade final.
Aplicando a fórmula binomial com ,
e
:
Aplicando a fórmula binomial com
Substituindo
:
Passo 7
Fazer as contas e simplificar a fração passo a passo sem calculadora.
Calcule potências de :
Calcule potências de
Calcule numerador das probabilidades:
Portanto
Simplificando por
:
Passo 8
Valor aproximado em decimal (útil para intuição).
Dividindo:
Dividindo:
Então a probabilidade é cerca de
.