(3,0 pontos) Considere o campo vetorial
.
(b) Encontre uma função potencial para
.
(b) Encontre uma função potencial para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial
. Isso faz parte do estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos campos conservativos e integrar as componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Temos:
Nesse contexto, uma função potencial
satisfaz que:
Passo 3
Antes de prosseguir, precisamos verificar se o campo
é conservativo. Para isso, em duas dimensões, basta verificar se:
Calculando as derivadas:
Como
, o campo é conservativo e podemos encontrar uma função potencial.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece por conta da integração.
Passo 5
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Assim, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função potencial para
é: