(3,0 pontos) Considere o campo vetorial F(x, y)=(3+2 x y, x^2-3 y^2).
(b) Encontre uma função potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial F(x, y)=(3+2xy, x^2-3 y^2). Isso faz parte do estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial. Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas dos campos conservativos e integrar as componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial F. Temos:
P(x, y) = 3 + 2xy Q(x, y) = x^2 - 3y^2
Nesse contexto, uma função potencial phi(x, y) satisfaz que:
partial phipartial x = P e partial phipartial y = Q

Passo 3

Antes de prosseguir, precisamos verificar se o campo F é conservativo. Para isso, em duas dimensões, basta verificar se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Calculando as derivadas:
partial Ppartial y = partialpartial y(3 + 2xy) = 2x partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 - 3y^2) = 2x
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo é conservativo e podemos encontrar uma função potencial.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial phi(x, y) integrando P(x, y) em relação a x:
phi(x, y) = integral P(x, y) , dx = integral (3 + 2xy) , dx = 3x + x^2y + h(y)
Aqui, h(y) é uma função arbitrária de y que aparece por conta da integração.

Passo 5

Para determinar h(y), vamos derivar phi(x, y) em relação a y e igualar a Q(x, y):
partial phipartial y = x^2 + h'(y) = Q(x, y) = x^2 - 3y^2
Assim, temos:
x^2 + h'(y) = x^2 - 3y^2 h'(y) = -3y^2 h(y) = -y^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A função potencial para F é:
phi(x, y) = 3x + x^2y - y^3 + C

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