(3,0 pontos) Considere o campo vetorial F(x, y)=(3+2 x y, x^2-3 y^2).
© Calcule integralC F cdot d r, onde C é a curva de parametrização r(t)=(t1^2, 2 t), 0 <= t <= 1. (Dica: use o Teorema fundamental das integrais de linha).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy, x^2 - 3y^2) ao longo da curva C parametrizada por r(t) = (t^2, 2t) para 0 <= t <= 1. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que facilita muito esse cálculo quando o campo vetorial é conservativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja, as componentes de F são as derivadas parciais de phi em relação a x e y.

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial phi(x, y):
Sabemos que:
partial phipartial x = 3 + 2xy
Integrando em relação a x:
phi(x, y) = integral (3 + 2xy) , dx = 3x + x^2y + h(y)
onde h(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de phi em relação a y e igualar à segunda componente de F:
partial phipartial y = x^2 + h'(y) = x^2 - 3y^2
Resolvendo para h'(y):
h'(y) = -3y^2
Integrando em relação a y:
h(y) = -y^3 + C
onde C é uma constante.

Passo 5

Então, a função potencial é:
phi(x, y) = 3x + x^2y - y^3 + C
Agora, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que:
integralC F cdot dr = phi(r(1)) - phi(r(0))

Passo 6

Vamos encontrar os pontos finais da curva C:
r(0) = (0^2, 2 cdot 0) = (0, 0)
r(1) = (1^2, 2 cdot 1) = (1, 2)

Passo 7

Agora, avaliamos a função potencial nos pontos finais:
phi(1, 2) = 3(1) + (1)^2(2) - (2)^3 = 3 + 2 - 8 = -3
phi(0, 0) = 3(0) + (0)^2(0) - (0)^3 = 0

Resposta

Portanto, a integral de linha é -3.

Exercícios relacionados