(3,0 pontos) Considere o campo vetorial
.
© Calcule
, onde
é a curva de parametrização
. (Dica: use o Teorema fundamental das integrais de linha).
© Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
parametrizada por
para
. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que facilita muito esse cálculo quando o campo vetorial é conservativo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja, as componentes de
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial
:
Sabemos que:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Resolvendo para
:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 5
Então, a função potencial é:
Agora, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que:
Passo 6
Vamos encontrar os pontos finais da curva
:
Passo 7
Agora, avaliamos a função potencial nos pontos finais:
Resposta
Portanto, a integral de linha é
.