Determine se o problema de valor inicial posse solução na condição inicial dada:
(4-t^2) d yd t+2 t y=3 t^2,
y(1)=2.

Passo 1

O problema dado é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
(4 - t^2)dydt + 2t,y = 3t^2
com condição inicial y(1)=2. Vamos aplicar o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf para ODEs lineares, que exige colocar a equação em forma normal y'+p(t)y = g(t) e verificar se p(t) e g(t) são contínuas numa vizinhança de t0=1.

Passo 2

Para isolar y' dividimos toda a equação por 4 - t^2, lembrando que isso só vale onde 4 - t^2 neq 0. Obtemos
y' + 2t4 - t^2,y = 3t^24 - t^2
Aqui definimos
e

Passo 3

Verificamos agora continuidade de p(t) e g(t) em torno de t=1. O denominador 4 - t^2 em t=1 vale 4-1=3, que é diferente de zero. Assim p(t) e g(t) são funções racionais sem singularidade em t=1, logo são contínuas numa vizinhança deste ponto.

Passo 4

Pelo teorema de existência e unicidade para equações diferenciais lineares, como p(t) e g(t) são contínuas perto de t0=1 e a divisão por 4 - t^2 é válida, existe uma única solução do problema de valor inicial em algum intervalo aberto que contenha t=1, especificamente em |t|<2, antes de atingir os pontos singulares t=pm2.

Resposta

O problema de valor inicial tem solução única local em torno de t=1 (mais precisamente em -2).

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