Determine se o problema de valor inicial posse solução na condição inicial dada:
,
.
Passo 1
O problema dado é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
com condição inicial
. Vamos aplicar o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf para ODEs lineares, que exige colocar a equação em forma normal
e verificar se
e
são contínuas numa vizinhança de
.
Passo 2
Para isolar
dividimos toda a equação por
, lembrando que isso só vale onde
. Obtemos
Aqui definimos
e
Passo 3
Verificamos agora continuidade de
e
em torno de
. O denominador
em
vale
, que é diferente de zero. Assim
e
são funções racionais sem singularidade em
, logo são contínuas numa vizinhança deste ponto.
Passo 4
Pelo teorema de existência e unicidade para equações diferenciais lineares, como
e
são contínuas perto de
e a divisão por
é válida, existe uma única solução do problema de valor inicial em algum intervalo aberto que contenha
, especificamente em
, antes de atingir os pontos singulares
.
Resposta
O problema de valor inicial tem solução única local em torno de
(mais precisamente em
).