Encontre a solução geral da equação:
y^prime prime+y=cossec(t);

Passo 1

A questão pede para encontrar a solução geral da equação y'' + y = csc(t). Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar a solução da homogênea e depois variação de parâmetros para achar um particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea y'' + y = 0. As soluções básicas são y1 = cos t e y2 = sin t, então a solução homogênea fica yh = C1cos t + C2sin t.

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros. Chamamos g(t)=csc(t) e usamos as fórmulas
W = y1 & y2 y1' & y2' = cos tcdotcos t - (-sin t)cdotsin t = 1
Em seguida,
u1' = -y2,g(t)W = -sin tcdotcsc t = -1 e u2' = y1,g(t)W = cos tcdotcsc t = cot t.
Integrando, obtemos
u1 = -integral 1,dt = -t e u2 = integral cot t,dt = ln|sin t|.

Passo 4

O particular sai de yp = u1y1 + u2y2. Logo,
yp = (-t)cos t + (ln|sin t|)sin t
Assim, a solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t - tcos t + sin tln|sin t|

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