Encontre as soluções gerais das equações diferenciais:
d y^2d t+5 d yd t=0.

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
A gente precisa reconhecer que se trata de
d^2ydt^2 + 5dydt = 0
Conteúdo: EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para resolver, fazemos a substituição-padrão
y(t)=e^rt
e obtemos a equação característica associada:

Passo 3

A equação característica fica
r^2 + 5r = 0
que podemos fatorar como
r(r+5)=0
e daí encontramos as raízes do polinômio.

Passo 4

As raízes são
r1 = 0,
r2 = -5
Como são raízes reais e distintas, a solução geral é combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 5

Portanto, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 + C2 e^-5t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C_1 + C_2 e^{-5t}

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