Encontre as soluções gerais das equações diferenciais:
d y^2d t+2 d yd t-3 y=0.

Passo 1

A equação diferencial dada é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: \ d^2ydt^2 + 2dydt - 3y = 0. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t) = e^lambda t. Substituindo na equação diferencial obtemos a equação característica: \ lambda^2 + 2lambda - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 2lambda - 3 = 0 por Bhaskara, temos \ lambda = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm 42 \ Logo, as raízes são lambda1 = 1 e lambda2 = -3.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por combinação linear das exponenciais correspondentes: \ y(t) = C1e^lambda1t + C2e^lambda2t = C1e^t + C2e^-3t

Resposta

y(t) = C1e^t + C2e^-3t

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